Duale Basis bestimmen

03.10.2011, 16:56

qp4

Duale Basis bestimmen

Im Internet findet man viele Hinweise dazu, wie man die zu einer Basis gehörende duale Basis bestimmt z.B. hier. Mir ist nicht klar, wie genau man auf das Verfahren kommt.

Ich habe dazu einen sehr nützlichen Artikel im Netz gefunden:
Duale Basis

Der Autor will die zu $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ gehörende duale Basis bestimmen. Dazu betrachtet er zusätzlich eine weitere Basis $\begin{eqnarray*} \tilde B = (b_1,...,b_n) \end{eqnarray*}$ des Vektorraums V und argumentiert:

Zitat:

sobald wir $\begin{eqnarray*} v_i^* (b_k) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ kennen, kennen wir das ganze $\begin{eqnarray*} v_i^* \end{eqnarray*}$

...weil eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt ist.

Warum ist aber die Wahl einer weiteren Basis $\begin{eqnarray*} \tilde B \end{eqnarray*}$ notwendig? Wir haben doch schon eine Basis $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ von V.

Ich bin einfach nur so verwirrt, weil in dem oben geposteten Foren-Link $\begin{eqnarray*} \tilde B \end{eqnarray*}$ nicht gewählt wird, um die duale Basis zu bestimmen.

Ich wäre für eine Erläuterung sehr dankbar!

03.10.2011, 19:23

galoisseinbruder

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Man braucht keine zusätzliche Basis,

Zitat:

...weil eine lineare Abbildung durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt ist.

Worauf der Autor des zweiten Artikels wohl hinaus will ist, ist eine darstellung über die Standarsbasis (vermute ich); vielleicht hat er auch eine mir unbekannte Anwendung im Kopf.

04.10.2011, 11:11

Reksilat

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Hallo qp4,

Ich habe dazu hier mal was geschrieben. Vielleicht hilft Dir das ja weiter.

Gruß,
Reksilat.

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Duale Basis bestimmen

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