Vektorräume sind isomorph

03.10.2011, 17:26

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Vektorräume sind isomorph

zz.: jeder K-VR V ist kanonisch isomorph zum K-VR Hom(K,V).

Ich möchte die entsprechenden Abbildungen V->Hom(K,V), Hom(K,V)->V hinschreiben und zeigen, dass sie invers zueinander sind.

$\begin{eqnarray*} V\to Hom(K,V), v\mapsto (\lambda\mapsto v) \end{eqnarray*}$
Die Zuordnung ist nicht eindeutig. daraus geht nicht hervor, welches lambda genau auf v abgebildet wird.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich die Abbildung hinschreiben muss?

Vielen Dank!

03.10.2011, 19:13

galoisseinbruder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} V\to Hom(K,V), v\mapsto (\lambda\mapsto v) \end{eqnarray*}$

ist nichtmal wohldefinert, da $\begin{eqnarray*} (\lambda\mapsto v) \end{eqnarray*}$ außer fü r $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ keine lineare Abbildung ist. Das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sollte schon irgendwas tun. Versuch doch mal die Abbildung in einem einfacheren fall hinzuschreiben z.B. V=K.

03.10.2011, 19:32

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Ich bräuchte noch einen Tipp. Ich sehe einfach nicht, wie ich lambda in die Abbildung einbringen kann.

03.10.2011, 19:36

galoisseinbruder

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Schreib doch mal ein Element von $\begin{eqnarray*} Hom(K,K) \end{eqnarray*}$ hin.

03.10.2011, 19:37

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die identische Abbildung wäre ein Element

03.10.2011, 19:39

galoisseinbruder

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welche noch, z.B. im Fall $\begin{eqnarray*} K=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (da können wir im zweifelsfall zeichnen.)

03.10.2011, 19:46

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naja, $\begin{eqnarray*} x\to x^2 \end{eqnarray*}$ ...

03.10.2011, 19:53

galoisseinbruder

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Nein. Das ist nicht linear: $\begin{eqnarray*} (2+2=4 \mapsto 16 \neq 2^2+2^2) \end{eqnarray*}$
Hom meint hier lineare Homomorphismen. Wie schreibst Du denn normalerweise lineare Abbildungen?

03.10.2011, 20:09

tmo

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Am einfachsten kann man sich die Sache vielleicht klarmachen, wenn man mal den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ nimmt und sich dann in Erinnerung ruft, dass Elemente aus diesem gerade Spaltenvektoren der Länge n sind, während lineare Abb. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gerade Zeilenvektoren der Länge n sind.

Dass die Räume also isomorph sind, ist dann doch unmittelbar klar und für den zugehörigen Isomorphismus Spaltenvektor <---> Zeilenvektor bedarf es auch keiner großen Gedankenkraft mehr.

Man muss dann nur noch in der Lage sein, diese schöne Situation aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ so zu formalisieren, dass es für beliebige Vektorräume klappt.

03.10.2011, 22:44

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Nein. Das ist nicht linear

ok, das war einfach nur dumm von mir.

Zitat:

Okay, wir brauchen dann ja aber den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in Hom(\mathbb R,\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$ , der einer Spalte entspricht.

03.10.2011, 23:49

tmo

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Ich hab natürlich den Dualraum lesen wollen, weil der eine größere Rolle spielt.

Aber ok, das ändert eigentlich nichts. Identifiziere einen Spaltenvektor aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit genau dem selben Spaltenvektor aus $\begin{eqnarray*} Hom(\mathbb R, \mathbb R^n) \end{eqnarray*}$

Du musst nur noch überlegen, wie dieser Isomorphismus formal aussieht.

04.10.2011, 01:56

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Das habe ich mir überlegt:

Dabei berücksichtige ich nicht deinen Tipp, einen Spaltenvektor aus IR^n auf sich selbst abzubilden. Ich habe damit nämlich keine vernünftige Abbildung konstruieren können (was nicht heißt, dass die unten stehende "vernünftig" ist, ich bin mir da sehr unsicher)

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \to Hom(\mathbb R,\mathbb R^n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ .\\.\\.\\ a_3 \end{pmatrix} \mapsto (\lambda \mapsto \begin{pmatrix} a_1 \\ .\\.\\.\\ a_3 \end{pmatrix}\lambda) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Hom(\mathbb R,\mathbb R^n) \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \psi \mapsto \psi(\lambda) \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$

04.10.2011, 01:58

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Edit: die a_3 im obigen Post soll ein a_n sein

04.10.2011, 08:04

galoisseinbruder

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Die erste Abbildung sieht gut aus; die zweite ist ungut aufgeschrieben:
Erstens was ist denn dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ hier?
Zweitens ist, da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ linear ist $\begin{eqnarray*} \phi (\lambda)\cdot \frac{1}{\lambda}= \phi (\frac{\lambda}{\lambda})= \phi (1) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass die zwei Abbildungen zueinander invers sind, und das ganze dann noch für allgemeines V formulieren.

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