Rekursive Funktionen

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MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Funktionen
Hallo,

nach dem ich nun den Grenzwert bestimmen kann, habe ich auch noch ein Frage zu rekursiven Funktionen. Angekommen ich möchte zeigen, dass eine Funktion streng monoton fallend/steigend ist, wie kann ich das am besten machen?
Bei iterativen Funktionen bekomme ich dieses noch selber hin.

Am besten ein Beispiel:





Wenn ich mich nicht ganz daneben liege, sollte es sich dabei um einen streng monoton wachsende Folge handeln.

Aber wie kann ich dieses zweigen?

MrMilk smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Bei rekursiv definierten Folgen ist die vollständige Induktion meist sehr hilfreich. So auch in diesem Fall Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

Hier gehts aber auch ganz direkt:

.

Gruß MSS
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Mmmmh, die Idee klingt ganz gut, aber ich habe noch Probleme mit dem Index.

Induktionsanfang:





Induktionsschritt::



Wie kann ich dieses nun weiter umformen?


MrMilk ;-)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Viel zu zeigen gibt es da nicht Augenzwinkern

Deine Induktionsannahme ist .

Du willst zeigen, dass daraus folgt. Nun ist .

Wie gesagt, das ist kein gutes Beispiel für eine Induktion Augenzwinkern

Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hey therisen,

kannst du mir vielleicht ein besseres Beispiel für Induktion mit rekursiven Folgen nennen? Irgendwie komme ich auf kein gutes - wäre echt nett.

Viele Grüße

-- MrMilk
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Folge + Konvergenz zeigen
konvergierende Folge
konvergierende FOlgen

uvm.

Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe mir nun einmal die Beispiele angeschaut und kann leider nur bis zu einem gewissen Punkt folgen.

Angenommen ich nehme die Folge



Als erstes wurden dort beschrieben, das die Folge streng monton steigend ist, was ich wie foglt beweisen kann:

Induktionsanfang:



Induktionsvoraussetung


Induktionsschritt
das bedeutet daraus folgt womit gezeigt ist, dass es sich um eine monoton steigende Folge handelt.

Nun habe ich aber noch zwei Punkte offen:

a) Wie zeige ich, dass zwei Schranken vorhanden sind.
b) Wie kann ich den Grenzwert bestimmen.

Zu a:
Als erste Schranke kann ich 0 wählen, da wir wissen, dass die Folge monoton steigend ist und somit 0 der kleinste Wert ist.
Aber was kann ich nun machen, damit ich die zweite Schranke finde?

zu b:
Vermutlich kann ich dazu a gebrauchen und daraus folgern, oder?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
Induktionsanfang:




Du meinst .


Zeige induktiv .


Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Den ersten Fehler habe ich sofort korriegiert.
Kannst du mir auch etwas zum Grenzwert sagen?

Viele Grüße

-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, der Grenzwert ist auch 2 Big Laugh Das hab ich in dem anderen Thread auch erklärt.


Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Thread steht das die Folge nur monoton steigend ist, sie ist aber auch streng monoton steigend, richtig?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrMilk
Induktionsschritt
das bedeutet daraus folgt


Das gefällt mir so nicht. Du musst aus folgern, dass auch gilt.

Damit ist dann gezeigt, dass die Folge streng monoton wächst.

Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein,

eigentlich wollte ich zeigen das die Folge streng monoton wächst.
Ist das falsch?


Viele Grüße

-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein stimmt schon, aber dein Induktionsschritt ist undurchsichtig.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

So besser?

Viele Grüße

-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist besser. Aber schöner würde ich finden: Da gilt, gilt insbesondere . Da beide Seiten positiv sind und die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, folgt . Das ist aber nach Definition nichts anderes als .


Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, klingt auch gut.

Nun möchte ich den großen Schritt machen und zeigen das alle n kleiner gleich zwei sind.

Induktionsanfang:


Induktionsvoraussetzung


Induktionsschritt
Nach Induktionsvoraussetung gilt weiter ist

Damit kann ich sagen es sind zwei Schanken für die Folge gesetzt und zwar


Liege ich damit richtig?

Viele Grüße

-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, ist korrekt. Insbesondere kannst du sagen, dass die Folge konvergiert.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Aber nun habe ich noch einen Grenzwert offen.

Wie gehe ich das weiter an, weil die abschätzungen sind mir zu ungenau.
Kann ich die nicht noch expliziet darstellen/beweisen?


Viele Grüße
-- MrMilk
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Mmmh, wenn ich mir das genau durchlese, woran erkennst du, dass die Folge konvergiert, bis jetzt konnten nur zwei Schranken gefunden werden.

Viele Grüße
-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt einen Satz der besagt, dass jede monoton wachsende/fallende und beschränkte Folge konvergiert. Und zwar gegen das Supremum/Infimum ihrer Wertemenge.

Die möglichen Grenzwerte erhält man aus (nach x auflösen).

Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

An dieser Stelle habe ich eine bestimmt seltsame Frage für dich.

Wieso lässt du einfach den Index Wegfallen?

Wieso steht dort nicht ?

Also die Frage ist noch böse gemeint, aber mir fehlt noch der logische Schluss.

Hinzu bekomme ich zwei Lösungen bei heraus, die und sind, da wir wissen, dass -1 nicht möglich ist, kann der Grenzwert nur 2 sein, oder?

Viele Grüße
-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wir wissen, dass konvergiert. Sei ihr Grenzwert . Dann gilt: .


Zitat:
Original von MrMilk
Hinzu bekomme ich zwei Lösungen bei heraus, die und sind, da wir wissen, dass -1 nicht möglich ist, kann der Grenzwert nur 2 sein, oder?


Es gibt nur eine Lösung, wenn du die Probe machst. Aber -1 kann ohnehin nicht in Frage kommen, wie du selbst sagst.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Nun, wir wissen, dass konvergiert. Sei ihr Grenzwert . Dann gilt: .


Aus ganz doofem Verständnis heraus gefragt, wieso setzt du Grenzwert ich nennen ihn einfach mal g, damit ich es besser unterscheiden kann, auf und nicht auf an?

Viele Grüße
-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte auch nehmen, dann hätte ich aber unter der Wurzel stehen. In jedem Fall benötige ich, dass auch gegen konvergiert.


Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich finde deine Antwort fast super.

Bis auf eine kleine Frage die noch vorhanden ist.

Unser Grenzwert ist mir fast klar, aber für x können wir noch nur sagen, dass es zwischen 0 und 2 liegt. Und über g kann ich noch gar nichts sagen, wie mache ich nun weiter? Weil jetzt sind zwei Unbekannte im Spiel?

Viele Grüße
-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Aus obiger Darstellung sieht man, dass für einen Grenzwert folgende Gleichung erfüllt sein muss: . Dafür kommt nur eine Zahl in Frage.

Beachte, dass nur auf Grund der Stetigkeit der Wurzelfunktion möglich ist.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen ich hätte ein Folge oder eine Operation wo die Stetigkeit nicht gegeben wäre, dann könnte ich das lim nicht wegefallen lassen?

Viele Grüße
-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

"Wegfallen" lässt man es ja in keinem Fall. Aber bei unstetigen Funktionen darf man das wie gesagt nicht machen.
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen ich ändere die Folge ab und nehme statt 2 einfach einmal 1 also:


Wäre dann ein Grenzwert von 1,36 richtig?

Viele Grüße
-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Grenzwert wäre
Auch bekannt als goldener Schnitt.


Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir grob erklären wie du darauf gekommen bist?

Viele Grüße
-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Als mögliche Grenzwerte kommt nur die Lösung(en) der Gleichung in Frage. Quadrieren liefert . Nun gilt . Wegen kommt daher nur in Frage (macht man die Probe, so sieht man, dass die Gleichung ohnehin nur eine Lösung besitzt).


Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Hi therisen,

wie du du schon geschreiben hast als Lösung kommt nur die Gleichung in Fragen. Wenn ich dieses mit der quadratischen Ergänzung auflöse komme ich zu weiter komme ich zu und hier komme ich nun mal auf die Lösung .

Das die andere Lösung nicht gültig ist verstehe ich, da dort ein negativer Wert heraus kommt und dieser uns nicht weiter hilft.

Leider kann ich grade den Fehler nicht verstehen?
Wieso komme ich auf eine Lösung?

Viele Grüße
-- MrMilk
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist Augenzwinkern


Gruß, therisen
MrMilk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast recht. Schnade über mein Haupt.
Der Grenzwert beträgt auch mit hilfe der quad. Ergänzung .
Wenn es heute Abend am Himmel leutchtet, dann sind es nicht die Rakteten sonder mein roter Kopf ;-)

Viele Grüße
-- MrMilk


Bevor ich es vergesse, vielen Dank an therisen für die gute und ausdauernde Hilfe!
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