Ausklammern von x unter der Wurzel

03.10.2011, 19:29

Jenny Wolf

Ausklammern von x unter der Wurzel

Meine Frage:
Wie klammere ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nach x aus?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt {x} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} x^{0,5} \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 19:29

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Das wird schwer, wozu willst du das machen?

03.10.2011, 19:30

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Big Laugh

das ist der Zähler eines Bruchs den ich zur Grenzwertberechnung brauch...

03.10.2011, 19:36

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Dann schreibe die Aufgabe doch einmal vollständig hier hin.

03.10.2011, 19:43

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Es ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)= \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gegeben. Geuscht ist die Tangentengleichung am Punkt p=2.

Jetz soll ich die Tangentengleichung berechnen, natürlich lässt sich das über die Ableitung machen aber ich soll ja berechnen.
mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x} -\sqrt{2} }{x-2} \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 19:45

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Den Bruch so erweitern, dass im Zähler die dritte binomische Formel steht.

03.10.2011, 19:47

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
und was soll das bringen?
Polynomdivision geht ja auch nicht.. ich will doch bloß 2 einsetzen können um den anstieg ausrechnen zu können..

03.10.2011, 19:50

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Wenn du die 2 einsetzt verschwindet der Nenner, also ist das nicht möglich.

Was das bringt wirst du dann sehen, aber bevor du das erst mal nicht machst, kann ich dir auch nicht weiter helfen, entweder du befolgst meinen Rat oder wir können hier abbrechen.

03.10.2011, 19:51

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
okay also erweiter ich den zähler und nenner um so etwas wie eine binom. formel zu erzeugen?

03.10.2011, 19:52

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Genau, und zwar so, dass im Zähler die 3. Binomische Fomel steht.

03.10.2011, 19:56

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
also:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x} -\sqrt{2}) * (\sqrt{x} +\sqrt{2} )}{(x-2) * (x+2)} \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 19:58

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
unglücklich

Du sollst mit 1 erweitern, aber es ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x} + \sqrt{2}}{x+2} \neq 1 \end{eqnarray*}$

Wie sieht das richtig aus, wenn man einen Bruch erweitert? Man erweitert im Zähler und im Nenner mit der gleichen Zahl.

03.10.2011, 20:03

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
was? check ich nicht..

03.10.2011, 20:06

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
soll ich mit (x+2) durch (x+2) erweitern? gekürzt wäre das 1 und würde nicht den wert der zahl beeinflussen..

03.10.2011, 20:06

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel

Zitat:

Original von Jenny Wolf

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x} -\sqrt{2}) * (\sqrt{x} +\sqrt{2} )}{(x-2) * (x+2)} \end{eqnarray*}$

Das hier ist falsch, denn du musst Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl erweitern.

Denn du darfst ja nur mit 1 multiplizieren, es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x}- \sqrt{2}}{x-2}=\frac{\sqrt{x}- \sqrt{2}}{x-2} \cdot 1 =\frac{\sqrt{x}- \sqrt{2}}{x-2} \cdot \frac{a}{a}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2}) \cdot a}{(x-2) \cdot a} \end{eqnarray*}$

Der Bruch, mt dem du multipliziert hast ist aber ungleich 1, also ist das nicht äquivalent zu dem ursrünglichen Ausdruck.

03.10.2011, 20:09

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
also:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x} -\sqrt{2}) * (x+2) }{(x-2) * (x+2)} \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 20:10

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Du sollst allerdings im Zähler die dritte binomische Formel erzeugen, nicht im Nenner.....

03.10.2011, 20:12

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
achso Big Laugh

ist klar, hatte das ziel aus den augen verloren^^
also:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x} -\sqrt{2}) * (\sqrt{x} +\sqrt{2} ) }{(x-2) * (\sqrt{x} +\sqrt{2}) } \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 20:17

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Nun die dritte binomische Formel im Zähler auflösen. Im Nenner kann das ganze so stehen bleiben.

03.10.2011, 20:24

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
dann entsteht:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x} )² - (\sqrt{2} )²}{(x-2) * (\sqrt{x} +\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} \frac{x-2}{(x-2) * (\sqrt{x} +\sqrt{2}) } \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 20:25

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Genau, und nun kann man kürzen und hat das Ergebnis schon vorliegen.

03.10.2011, 20:29

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
also entsteht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x} +\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 20:30

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Jap, und was ist der Grenzwert, wenn x gegen 2 läuft dann?

03.10.2011, 20:31

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
na $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ und das ist genau wie die erste ableitung oder?

03.10.2011, 20:32

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
am punkt p=2

03.10.2011, 20:35

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Das ist die erste Ableitung an der Stelle x=2.

Eine Funktion heißt differenzierbar an einer Stelle x_0, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ existiert. Dieser Grenzwert ist die Ableitung von f(x) an der Stelle x_0.

03.10.2011, 20:38

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
also bin ich jetzt sozusagen fertig? und habe den anstieg der tangente bestimmt..
der anstieg der tangente ist also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ an der stelle x_0=2
und nun die tangentengleichung...

03.10.2011, 20:43

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Okay, irgendelche Ideen dazu?

03.10.2011, 20:46

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
na die normalform ist ja:
y=mx+n und jetz halt bisschen einsetzen und nach n umstellen^^

03.10.2011, 20:48

https://mathe

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel

Zitat:

Original von Jenny Wolf
na $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ und das ist genau wie die erste ableitung oder?

Hi,

müsste es nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ heißen? verwirrt

edit: natürlich nicht...^^ Big Laugh

hab mir anstelle dem pluszeichen hier ein malzeichen aus unerklärlichen gründen gedacht...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}+ \sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 20:50

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
@ https:

Zitat:

müsste es nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ heißen?

Wieso?

Das ist schon richtig, was die Jenny da gemacht hat....

@ Jenny

Dann setz mal ein.

03.10.2011, 20:50

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
okay ;D

03.10.2011, 20:53

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
also n= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} - (\frac{1}{2*\sqrt{2} } *2) \end{eqnarray*}$
kurz: n= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 20:56

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Jap, ist richtig.

03.10.2011, 21:00

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Vielen Dank für Deine Geduld.
Ich probier mich vielleicht noch an der Zusatzaufgabe, "An welcher Stelle des Funktionsgraphen f(x) liegt ein Steigungswinkel von 45° vor?"
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

03.10.2011, 21:01

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Ist gar nicht viel anders, welche Steigung hat denn eine Tangente, die mit der x-Achse einen Winkel von 45° einschließt?

03.10.2011, 21:02

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
na die steigung ist da m=1 oder?
wie z.B. y=x

03.10.2011, 21:03

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Jap.

Also ist die Stelle gesucht, an der die Funktion eine Steigung von 1 hat.

03.10.2011, 21:08

Jenny Wolf

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
am punkt P (1;1) oder?
sieht man doch am graphen Big Laugh

03.10.2011, 21:14

lgrizu

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RE: Ausklammern von x unter der Wurzel
Die Steigung an der Stelle x=1 ist nicht 1.

Hierzu mal der Graph und die Tangente an dem Graphen an der Stelle x=1:

Was ist hierzu denn zu berechnen? man sucht die Stelle x_0, für die gilt: f'(x_0)=1.

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