Endlicher Ring |
03.10.2011, 23:06 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Endlicher Ring Ich beschäftige mich momentan gerade mit dem endlichen Ring (n>0) Hierzu habe ich 2 Fragen: - Gibt es ein Element x aus dem Ring, sodass x = -x gilt? - Gibt es eine (einfache) Formel für ? Zur zweiten Frage denke ich, die Lösung gefunden zu haben. Kann es sein, dass es gerade die Gauss-Summenformel ist? Vielen Dank jetzt schon für die Tipps, Gruss |
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03.10.2011, 23:22 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Endlicher Ring
Wie wär's mit 0
Die verliert, außer für n=2, natürlich nicht ihre Gültigkeit, allerdings muss das Ergebnis modulo n betrachtet werden. (edit: Und das solltest du auch tun, es lohnt sich nämlich) air |
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03.10.2011, 23:44 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Endlicher Ring
Ändert man die erste Frage noch so ab, dass dass man die 0 zwecks Trivialität ausschließen will, so haben diese Fragen übrigens interessanterweise was miteinander zu tun. Denn dann ist äquivalent dazu, dass die erste Frage verneint wird. |
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03.10.2011, 23:50 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Endlicher Ring Ahh Klar, die erste Frage hat sich erledigt. Zur zweiten: Nach ein paar Überlegungsfehlern bin ich nun bei der Summe auf n gekommen. Ist das möglich? |
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03.10.2011, 23:52 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist |
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04.10.2011, 00:00 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, richtig. Also ich kanns beschreiben: Für n gerade ist es immer 0, für n ungerade wird immer eine um 1 grössere Zahl hinzu addiert. ...wie kann man diesen Sachverhalt "schön" schreiben? |
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04.10.2011, 00:32 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Beschreibung hat nicht wirklich viel mit der Wahrheit zu tun. Hast du es denn für die ersten 10 n's denn mal ausprobiert? Dann müsstest du doch sofort sehen, dass das nicht stimmt. |
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04.10.2011, 00:44 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab ich was falsch gemacht? Ich hab folgendes: n=1: 0 + 1 = 1 mod 2. n=2: 0 + 1 + 2 = 3 = 0 mod 3. n = 3: 0 + 1 + 2 + 3 = 6 = 2 mod 4. n = 4: 0 + ... + 4 = 10 = 0 mod 5. (...) |
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04.10.2011, 00:51 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Edit: Nein, halt. Ich habe deine Rechnung nicht genau gesehen. Du musst schon ein wenig aufpassen, was 'n' ist. Wir sprechen doch von . Für n=2 ist die Summe also 0 + 1 = 1. Für n=3 ist sie 0 + 1 + 2 = 3. Für n=4 ist sie 0 + 1 + 2 + 3 = 6 = 2 mod 4 usw. air |
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04.10.2011, 01:03 | leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dankeschön. Dann wäre die Formel äquivalent mit: (oder? ) |
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04.10.2011, 01:06 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ähm .... nein In deiner Summe kommt weder ein 'n' vor, noch konvergiert sie. Ich habe doch eben bis n=4 vorgerechnet. Führe das mal bis n=10 fort und schreibe es ordentlich in eine Tabelle auf, dann siehst du was. air |
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04.10.2011, 10:33 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig, eine Tabelle verschafft tatsächlich sofort Klarheit. Ist n ungerade, so ergibt sich immer 0. Ist n gerade, so ergibt sich jeweils die Hälfte von n. Diese Version sollte nun stimmen PS: Unterscheidet man dann auch bei der Formel n gerade / ungerade? Falls nicht wäre die zu findende Formel ja tatsächlich relativ einfach (1+2+3+...) |
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04.10.2011, 11:13 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Version stimmt, und wie du ja schon formuliert hast ist eine Fallunterscheidung nötig, wenn man dazu eine Formel aufschreiben will. Den letzter Satz bezieht sich auf die Gaußsche Summenformel, eine Aussage in den ganzen Zahlen. Da musst Du am Ende auch nochmal modulo rechnen (die Summation ist über Elemente von nicht ) eine Fallunterscheidung machen ob 2 in invertierbar ist oder nicht und kommst aufs selbe Ergebnis wie oben. |
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04.10.2011, 12:36 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke euch allen für die Hilfe! Eine Schlussfrage hätte ich aber noch: Ich ging von n>0 aus. Ist das Ganze für n=0 nicht definiert, oder ist das dann gerade Z selber? |
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04.10.2011, 12:54 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Fall n=0 ist also |
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04.10.2011, 15:59 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt, wo die Aufgabe gelöst ist, kann ich noch kurz die Aussage aus meinem ersten Post erläutern: In einer endlichen abelschen Gruppe ist die Summe aller Elemente genau dann nicht 0, wenn es genau ein Element x der Ordnung 2 gibt (Die Anzahl solcher Elemente ist immer für ein geeignetes ). Die Summe aller Elemente ist dann gerade x. Ein solches Element (schreibt man die Gruppenoperation additiv) erfüllt gerade . Daher der Zusammenhang. |
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04.10.2011, 17:45 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also willst du damit eigentlich sagen, dass es neben 0=-0 noch viele andere Beispiele gibt. Hab ich dich da richtig verstanden? |
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04.10.2011, 19:04 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du meinen Post aufmerksam liest, so solltest du mit Hilfe den schon in diesem Thread gewonnenen Erkenntnissen ableiten können, dass es für gerade n folglich genau ein von 0 verschiedenes Element mit gibt. Für ungerade n gibt es natürlich gar keines, weil die 2 dort kein Nullteiler ist. |
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04.10.2011, 19:33 | Leo1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah Die Antwort wurde sogar schon mal erwähnt - allerdings nicht in diesem Zusammenhang. Dankeschön! |
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