Endlicher Ring

Neue Frage »

Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Endlicher Ring
Hallo miteinander.

Ich beschäftige mich momentan gerade mit dem endlichen Ring (n>0)

Hierzu habe ich 2 Fragen:
- Gibt es ein Element x aus dem Ring, sodass x = -x gilt?
- Gibt es eine (einfache) Formel für ?

Zur zweiten Frage denke ich, die Lösung gefunden zu haben. Kann es sein, dass es gerade die Gauss-Summenformel ist?

Vielen Dank jetzt schon für die Tipps,
Gruss
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endlicher Ring
Zitat:
Original von Leo1234
- Gibt es ein Element x aus dem Ring, sodass x = -x gilt?


Wie wär's mit 0 verwirrt

Zitat:
- Gibt es eine (einfache) Formel für ?

Zur zweiten Frage denke ich, die Lösung gefunden zu haben. Kann es sein, dass es gerade die Gauss-Summenformel ist?


Die verliert, außer für n=2, natürlich nicht ihre Gültigkeit, allerdings muss das Ergebnis modulo n betrachtet werden. (edit: Und das solltest du auch tun, es lohnt sich nämlich)

air
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endlicher Ring
Zitat:
Original von Leo1234
Hierzu habe ich 2 Fragen:
- Gibt es ein Element x aus dem Ring, sodass x = -x gilt?
- Gibt es eine (einfache) Formel für ?


Ändert man die erste Frage noch so ab, dass dass man die 0 zwecks Trivialität ausschließen will, so haben diese Fragen übrigens interessanterweise was miteinander zu tun.

Denn dann ist äquivalent dazu, dass die erste Frage verneint wird.
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endlicher Ring
Ahh Freude
Klar, die erste Frage hat sich erledigt.

Zur zweiten: Nach ein paar Überlegungsfehlern bin ich nun bei der Summe auf n gekommen. Ist das möglich? Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, richtig.
Also ich kanns beschreiben: Für n gerade ist es immer 0, für n ungerade wird immer eine um 1 grössere Zahl hinzu addiert. ...wie kann man diesen Sachverhalt "schön" schreiben?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Beschreibung hat nicht wirklich viel mit der Wahrheit zu tun.

Hast du es denn für die ersten 10 n's denn mal ausprobiert? verwirrt Dann müsstest du doch sofort sehen, dass das nicht stimmt.
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich was falsch gemacht?
Ich hab folgendes:

n=1:
0 + 1 = 1 mod 2.

n=2:
0 + 1 + 2 = 3 = 0 mod 3.

n = 3:
0 + 1 + 2 + 3 = 6 = 2 mod 4.

n = 4:
0 + ... + 4 = 10 = 0 mod 5.

(...)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »



Edit: Nein, halt. Ich habe deine Rechnung nicht genau gesehen. Du musst schon ein wenig aufpassen, was 'n' ist. Wir sprechen doch von . Für n=2 ist die Summe also 0 + 1 = 1. Für n=3 ist sie 0 + 1 + 2 = 3. Für n=4 ist sie 0 + 1 + 2 + 3 = 6 = 2 mod 4 usw.

air
leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön.
Dann wäre die Formel äquivalent mit:

(oder? smile )
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

ähm .... nein verwirrt
In deiner Summe kommt weder ein 'n' vor, noch konvergiert sie.

Ich habe doch eben bis n=4 vorgerechnet. Führe das mal bis n=10 fort und schreibe es ordentlich in eine Tabelle auf, dann siehst du was. Augenzwinkern

air
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, eine Tabelle verschafft tatsächlich sofort Klarheit.
Ist n ungerade, so ergibt sich immer 0. Ist n gerade, so ergibt sich jeweils die Hälfte von n.
Diese Version sollte nun stimmen smile

PS: Unterscheidet man dann auch bei der Formel n gerade / ungerade?
Falls nicht wäre die zu findende Formel ja tatsächlich relativ einfach (1+2+3+...)
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Version stimmt, und wie du ja schon formuliert hast ist eine Fallunterscheidung nötig, wenn man dazu eine Formel aufschreiben will.

Den letzter Satz bezieht sich auf die Gaußsche Summenformel, eine Aussage in den ganzen Zahlen. Da musst Du am Ende auch nochmal modulo rechnen (die Summation ist über Elemente von nicht ) eine Fallunterscheidung machen ob 2 in invertierbar ist oder nicht und kommst aufs selbe Ergebnis wie oben.
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch allen für die Hilfe! smile

Eine Schlussfrage hätte ich aber noch: Ich ging von n>0 aus. Ist das Ganze für n=0 nicht definiert, oder ist das dann gerade Z selber?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Im Fall n=0 ist also
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt, wo die Aufgabe gelöst ist, kann ich noch kurz die Aussage aus meinem ersten Post erläutern:

In einer endlichen abelschen Gruppe ist die Summe aller Elemente genau dann nicht 0, wenn es genau ein Element x der Ordnung 2 gibt (Die Anzahl solcher Elemente ist immer für ein geeignetes ). Die Summe aller Elemente ist dann gerade x.

Ein solches Element (schreibt man die Gruppenoperation additiv) erfüllt gerade .

Daher der Zusammenhang.
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Also willst du damit eigentlich sagen, dass es neben 0=-0 noch viele andere Beispiele gibt. Hab ich dich da richtig verstanden?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du meinen Post aufmerksam liest, so solltest du mit Hilfe den schon in diesem Thread gewonnenen Erkenntnissen ableiten können, dass es für gerade n folglich genau ein von 0 verschiedenes Element mit gibt.

Für ungerade n gibt es natürlich gar keines, weil die 2 dort kein Nullteiler ist.
Leo1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah Big Laugh
Die Antwort wurde sogar schon mal erwähnt - allerdings nicht in diesem Zusammenhang.
Dankeschön! smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »