Füllhöhe Zylinder

30.12.2006, 21:35	michael123	Auf diesen Beitrag antworten »
Füllhöhe Zylinder Hallo an alle, hier mein Problem, ein liegender Zylinder mit definierten Maßen (Radius, Länge) soll gefüllt werden. Ich suche eine Formel für die Berechnung des Füllstandes in Abhängigkeit zu dem eingebrachten Volumen. Beispiel: liegender Zylinder: r= 1,2m, l= 5m Inhalt 100 l Füllhöhe ? Vielen Dank für die Hilfe tschüss Michael
30.12.2006, 22:03	para	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht dir vielleicht schon der Hinweis wie man den Flächeninhalt eines Kreissegments berechnen kann? Das Kreissegment einer Seitenfläche das mit Wasser benetzt ist, bildet ja die Grundseite eines Prismas aus Wasser, dessen Volumen aus Grundseite und Höhe (=Länge des Zylinders) bestimmt werden kann. //Nachtrag: man muss dann sicherlich noch unterscheiden ob der Zylinder weniger oder mehr als zur Hälfte gefüllt ist, aber das ergibt sich dann ja. ;-) //edit2: Link korrigiert, sollte zu dem Wikipedia-Artikel führen aber war den Syntax aus 'nem anderen Board noch mit Anführungszeichen gewohnt. Danke für den Hinweis.
31.12.2006, 00:33	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Gesamtvolumen des Zylinders: $\begin{eqnarray} V_g=r^2 \pi h \end{eqnarray}$ 2. Anteil des eingefüllten Volumens - Berechnung der 50% Schwelle $\begin{eqnarray} V_{0.5}= \frac{1}{2} V_G \end{eqnarray}$ 3. Volumenberechnung bis 50% Kreissegment @para wo sollte dein Link hinführen?
31.12.2006, 00:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{2} \, r^2 l \, \left( \alpha - \sin{\alpha} \right) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} V = r^2 l \, \left( \arccos{t} - t \, \sqrt{1 - t^2} \right) \ \ \text{mit} \ \ t = 1 - \frac{h}{r} \end{eqnarray}$ Hierbei sind $\begin{eqnarray} r,l \end{eqnarray}$ Radius bzw. Länge (Höhe) des Zylinders, $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ist die Füllhöhe (Wasserstand). $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist nur eine Hilfsgröße, um die Formel etwas übersichtlicher darzustellen. Der vom Wasser benetzte Teil des Zylinderkreises stellt ein sogenanntes Kreissegment dar. Zu ihm gehört ein Kreissektor. Mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist dessen Mittelpunktswinkel gemeint. $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist im Bogenmaß anzugeben und durchläuft die Werte von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 2 \pi \end{eqnarray}$ (für $\begin{eqnarray} \alpha = \pi \end{eqnarray}$ ist der Zylinder gerade halb voll). Die Herleitung dieser Formeln sei dir überlassen. Einen Hinweis hat ja schon tigerbine gegeben. Da $\begin{eqnarray} V,r,l \end{eqnarray}$ bekannt sind, kannst du $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und folglich auch $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ berechnen. Du solltest dir aber keine Illusionen machen hinsichtlich Auflösbarkeit auf algebraischem Weg. Ohne ein geeignetes Näherungsverfahren wirst du nicht auskommen. Ich habe mit dem Newton-Verfahren $\begin{eqnarray} t \approx 0{,}962 \end{eqnarray}$ erhalten. Siehe auch 1. hier und 2. hier.
31.12.2006, 18:06	michael123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hinweise, die Formel für die Berechnung einer Fläche innerhalb eines Kreisabschnitts ist mir bekannt, ich suche jedoch nicht das Volumen, sondern die Füllhöhe in Abhängigkeit zum Volumen. Wie Leopold geschrieben hat, wird es wohl nicht so einfach sein. Meine Grundidee war, eine "einfache" Berechnung wo ich ausschließlich den Durchmesser, Länge und den Flüssigkeitsinhalt angebe und als Ergebnis mir die Füllhöhe presentiert wird. Wahrscheinlich zu einfach gedacht. Na schaun wir mal, vielen dank jedoch für die Antworten. Michael

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