Potenz einer komplexen Zahl (Exponent nicht ganzzahlig)

06.10.2011, 15:01

r0000t

Potenz einer komplexen Zahl (Exponent nicht ganzzahlig)

Meine Frage:
komplexe Zahl sei:

$\begin{eqnarray*} z = r * e^{i * psi} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich folgendes für das Potenzieren von z gefunden:

$\begin{eqnarray*} z^{n} = r^{n} * e^{i*n*psi} \end{eqnarray*}$

Allerdings hab ich an anderer Stelle gelesen, dass es bei komplexen Zahlen unterschiede gibt. Wenn der Exponent nicht ganzzahlig ist, muss man anders vorgehen, als wenn er es ist...
Gilt meine Formel da oben allgemein oder nur bei ganzzahligen n's???

Wenns nicht gilt wie muss ich vorgehen bei beispielsweise:

$\begin{eqnarray*} z^{3.5} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich hätte einfach 3.5 oben eingesetzt.... Ist das korrekt?

06.10.2011, 15:39

klarsoweit

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RE: Potenz einer komplexen Zahl (Exponent nicht ganzzahlig)

Zitat:

Original von r0000t
Wenn der Exponent nicht ganzzahlig ist, muss man anders vorgehen, als wenn er es ist...

Wenn der Exponent reell ist, macht das keinen Unterschied. Siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Za...he_Rechenregeln

06.10.2011, 15:55

r000t

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Danke

06.10.2011, 15:57

René Gruber

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@r0000t

Denk einfach mal dran, dass für $\begin{eqnarray*} z = r\cdot e^{i\psi} \end{eqnarray*}$ auch

$\begin{eqnarray*} z = r\cdot e^{i(\psi+2k\pi)} \end{eqnarray*}$

für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gilt. Man kann also mit einiger Berechtigung fragen, wieso man statt $\begin{eqnarray*} r^n \cdot e^{in\psi} \end{eqnarray*}$ nicht irgendeinen - oder jeden (!) - der anderen Werte $\begin{eqnarray*} r^n \cdot e^{in(\psi+2k\pi)} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Potenz von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ betrachtet. Für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ macht das keinen Unterschied, es ergibt sich da immer derselbe Wert. Für nichtganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sieht das anders aus...

06.10.2011, 16:24

r000t

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Zitat:

Original von René Gruber
Für nichtganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sieht das anders aus...

Das verwirrt mich jetzt wieder...

Ich habe verschiedene Berechnung (in einem Programm).
Die Exponenten sind 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5 oder 9.5, also nichtganzzahlig.

r ist immer 1...!
Der Winkel bewegt sich von 0 bis 2 pi.

Darf ich dann meine Exponenten einfach in den Winkel der komplexen Zahl reinmultiplizieren, um das richteige Ergebnis zu bekommen oder nicht!?

06.10.2011, 16:40

René Gruber

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Zitat:

Original von r000t
Ich habe verschiedene Berechnung (in einem Programm).

[...]

Darf ich dann meine Exponenten einfach in den Winkel der komplexen Zahl reinmultiplizieren, um das richteige Ergebnis zu bekommen oder nicht!?

Dazu muss man mehr über die Hintergründe, den Sinn dieser Potenzberechnung für deine konkrete Anwendung wissen. Bei deinen Exponenten, die ausnahmslos auf ,5 enden, geht es ja um eine Art Quadratwurzel, und die ist im Komplexen immer zweiwertig - es sei denn, es reicht einem aus irgendeinem Grund eine Lösung (z.B. der Hauptwert). Diese Entscheidung, also dass eine der Lösungen reicht, kann man aber nicht allein an der Potenz festmachen. unglücklich

P.S.: Die Lehrmeinungen, die glauben $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ immer eindeutig definieren zu müssen, tun dies für $\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{i\psi} \end{eqnarray*}$ und beliebige reelle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ tatsächlich gemäß $\begin{eqnarray*} z^n := r^n \cdot e^{in\psi} \end{eqnarray*}$ , aber nur falls $\begin{eqnarray*} -\pi < \psi \leq \pi \end{eqnarray*}$ gilt. Für andere $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ sowie nichtganzzahlige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ tritt der von mir oben beschriebene Effekt ein, dass andere "Potenzwerte" entstehen.

06.10.2011, 17:02

r000t

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Hmm ja, der Hintergrund....

Es handelt sich um eine Funktion, die mit Nullstellen $\begin{eqnarray*} w_{n} \end{eqnarray*}$ auf dem Schelkunoff-Einheitskreis rechnet. Wobei $\begin{eqnarray*} w = e^{i*psi} \end{eqnarray*}$ .
Nach einigen Schritten muss ich zur Berechnung der Funktionswerte unter Anderem $\begin{eqnarray*} w^{N/2} \end{eqnarray*}$ lösen. N wird anfangs eingeben und ist ungerade und zwischen 3 und 19....
Die Werte liegen ja alle auf dem Kreis, daher dürfte anders ausgedrückt wie von Dir erwähnt $\begin{eqnarray*} -\pi < psi <= +\pi \end{eqnarray*}$ gelten!?

Also, wenn bei mir dann tatsächlich mehrere Lösungen rauskommen sollten, hab ich glaub ein Problem.

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