Vollständige Induktion

06.10.2011, 16:37

Engineering1992

Vollständige Induktion

Meine Frage:
"Zeige mit vollständiger Induktion, dass 3^(4n) - 4^(3n) durch 17 teilbar ist."

Ich habe keine Idee, wie der Induktionsbeginn aussieht.

Bitte um eure Hilfe!

Meine Ideen:
Wenn 3^(4n) - 4^(3n)durch 17 teilbar ist, dann ist 3^(4n+1) - 4^(3n+1) durch 17 teilbar...

06.10.2011, 16:39

weisbrot

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RE: Vollständige Induktion
für den induktionsbeginn setze n=1 ein. lg

06.10.2011, 18:05

Engineering1992

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RE: Vollständige Induktion
Danke erstmal. Wenn ich für den Term anschließend n und n+1 einsetze, und gleichzeitig mit einer Äquivalenz ( <==> ) verbinde, bekomme ich folgende Gleichung:

(3^4n - 4^3n)/17 <==> (3^4(n+1) - 4^3(n+1))/17

Ist das das Ergebnis?

06.10.2011, 18:13

weisbrot

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RE: Vollständige Induktion
also da muss ich erstmal ein bisschen mäkeln:

Zitat:

(3^4n - 4^3n)/17 <==> (3^4(n+1) - 4^3(n+1))/17

das sind keine aussagen (sondern nur terme), also können sie nicht äquivalent sein, höchstens gleich, das denke ich hier aber nicht. wenn du allerdings die aussage "17 teilt ..." meintest, dann schreibt man das "17 | (...)". wenn diese aussage für alle natürlichen n wahr ist, dann natürlich auch für alle n+1. das ist aber was du beweisen sollst.
kennst du das verfahren der vollständigen induktion überhaupt? dann sollte dir klar sein, dass du nach dem induktionsanfang die aussage, unter der annahme dass sie für beliebiges n gilt, für n+1 beweisen musst..

06.10.2011, 19:24

Engineering1992

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RE: Vollständige Induktion
Mein vorläufiger Beweis:

3^4n - 4^3n | 17 < 3^4(n+1) - 4^3(n+1) | 17 | x(3^4n - 4^3n)

(3^4n - 4^3n)^2 | 17 < 3^4(n+2) - 4^3(n+2) | 17

9^8n - 24^7n + 16^6n < 3^4(n+2) - 4^3(n+2)

Meine Folgerung:
Da.... 9^8n - 24^7n + 16^6n | 17 < 3^4(n+2) - 4^3(n+2) | 17 ...., muss auch 3^4n - 4^3n | 17 < 3^4(n+1) - 4^3(n+1) | 17 ....gelten.

06.10.2011, 19:44

weisbrot

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

3^4n - 4^3n | 17 < 3^4(n+1) - 4^3(n+1) | 17 | x(3^4n - 4^3n)

(3^4n - 4^3n)^2 | 17 < 3^4(n+2) - 4^3(n+2) | 17

9^8n - 24^7n + 16^6n < 3^4(n+2) - 4^3(n+2)

Meine Folgerung:
Da.... 9^8n - 24^7n + 16^6n | 17 < 3^4(n+2) - 4^3(n+2) | 17 ...., muss auch 3^4n - 4^3n | 17 < 3^4(n+1) - 4^3(n+1) | 17 ....gelten.

das ist kein beweis für die aussage (ganz abgesehen von den rechenfehlern), und vorallem keine vollständige induktion.

ich geb dir mal nen kleinen schubser:

$\begin{eqnarray*} IB) n=1: 3^4-4^3=17 \textrm{ ist offenbar durch 17 teilbar} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IA) 3^{4n}-4^{3n} \textrm{ ist durch 17 teilbar für}\quad n\in \mathbb N \quad \textrm{beliebig fest} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IS) n \to (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{4(n+1)}-4^{3(n+1)}=3^4\cdot 3^{4n}-4^3\cdot 4^{3n}=81\cdot 3^{4n}-64\cdot 4^{3n}=17\cdot 3^{4n}+64\cdot 3^{4n}-64\cdot 4^{3n}=... \end{eqnarray*}$

IB=Induktionsbasis/-anfang , IA=Induktionsannahme , IS=Induktionsschritt

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