Diagonalisierbarkeit

07.10.2011, 15:21	Tabaluga	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit Meine Frage: Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei f ein Element aus End(V) [Endomorphismen von V nach V] diagonalisierbar. Beweisen Sie, dass f^m für alle m Element N diagonalisierbar ist. Meine Ideen: Ich hab mit Induktion angefangen. (Annahme und Anfang überspringen wir - das ist hier trivial) Ich habe beim Schritt das allgemeine Diagonalisierbarkeitskriterium benutzt, und gezeigt, dass x(das char. Polynom) In Linearfaktoren zerfällt (mit det-Multiplikationssatz). Was noch zu beweisen ist, ist $\begin{eqnarray} \alpha (Eigenwert Lambda) =\gamma (Eigenwert Lambda) \end{eqnarray}$ . (wobei Gamma=geometrische Vielfachheit und Alpha = wie oft (X-Lambda) das charakteristische Polynom teilt.) Was ich beweisen konnte ist beim Schritt, dass Alpha(Eigenwert)[von f^m+1] = Alpha(Eigenwert)[von f] + Alpha(Eigenwert)[von f^m]. Wie zeige ich aber Alpha(Eigenwert)=Gamma(EIgenwert)???
07.10.2011, 15:24	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige einfach (formal mit Induktion, aber eigentlich ist da wirklich nichts zu zeigen), dass jeder Eigenvektor von f auch einer von $\begin{eqnarray} f^m \end{eqnarray}$ ist. Daraus folgt alles, weil man bei f schon eine Basis aus Eigenvektoren findet.
07.10.2011, 15:26	Tabaluga	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber das was du gesagt hast, wie kann ich das beweisen - ich hänge da grad.
07.10.2011, 15:32	Tabaluga	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder EIgenvektor von f ist auch Eigenvektor von f^m??? Wieso gilt denn f(u)=Lambdau und f^m(u)=Lambda2u???
07.10.2011, 15:53	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Machen wir es mal für m=2: (a sei der Eigenwert mit Eigenvektor v) $\begin{eqnarray} f^2(v)=f(f(v))=f(av)=af(v)=a^2v \end{eqnarray}$ Das kann man doch jetzt leicht verallgemeinern.
07.10.2011, 15:58	Tabaluga	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war mein Denkfehler: ich dachte f^2(v)= f(v)*f(v). Schon gewundert, was ich für ein Brett vor dem Kopf hatte... Danke für deine Hilfe
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07.10.2011, 16:15	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok. In der (eindimensionalen) Analysis wird das Quadrat einer Funktion oft punktweise verstanden, was sich z.b. in der Schreibweise der bekannten trigonometrischen Identität $\begin{eqnarray} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray}$ wiederspiegelt. In der Linearen Algebra bzw. speziell bei Homomorphismen von Vektorräumen wäre eine punktweise Interpretation eigentlich gar nicht möglich, da man ja zwei Vektoren nicht multiplizieren kann. Wenn man auf sowas etwas achtet, passieren solche Sachen seltener Das sind auch beliebte Prüfungsfragen in Anfängervorlesungen: Man kriegt irgendwelche Elemente aus irgendwelchen Räumen und dann lauter Ausdrücke, von denen man angeben soll, welche Sinn machen und welche nicht.
07.10.2011, 16:35	Tabaluga	Auf diesen Beitrag antworten »
OK Danke für deine Geduld ;-)

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