Stetigkeit und Differenzierbarleit

31.12.2006, 15:28

Sonnenschein1987

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Stetigkeit und Differenzierbarleit

Hallo,

Ich weiß, was mit dem Begriff Stetigkeit gemeint ist, nur kann ich diese nicht nachweisen. Wie mache ich das? Irgendwie muss ich den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert bestimmen. Leider verstehe ich aber nicht, wie ich das genau aufschreiben/rechnen muss. Kann mir das jmd erklären?

Der Unterschied zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit ist mir auch nicht klar. Vor allem weiß ich auch nicht, wie genau ich die Differenzierbarkeit eines Punktes bestimme. unglücklich

unglücklich

Freue mich auf erklärende Antworten.

31.12.2006, 16:00

system-agent

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nehmen wir uns das standardbeispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
(ich glaube dieser funktion sollten wir bei gelegenheit den preis der "am häufigsten benutzen beispielfunktion" verleihen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

aber zu sache:
nehmen wir uns zum beispiel mal die stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ vor.
die stetigkeit bedeutet ja, dass der grenzwert gleich dem funktionswert an dieser stelle ist. der linksseitige grenzwert ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1-}x^2=1 \end{eqnarray*}$
der rechtsseitige ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1+}x^2=1 \end{eqnarray*}$
der funktionswert an der stelle ist:
$\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$
offensichtlich ist:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to1-}x^2=\lim_{x\to1+}x^2=f(1) \end{eqnarray*}$
und das ist die stetigkeit, voilà.

genauso kannste das auch mit der diff'barkeit machen und dann ist auch diese gezeigt.
übrigens wenn die diff'barkeit gezeigt ist, ist deine funktion automatisch stetig, nur so als hinweis für die halbe arbeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

natürlich geht das nur so, wenn du die grenzwerte nicht nachweisen musst, denn dann müsstest du mit der folgen- bzw. $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -definition arbeiten

31.12.2006, 17:41

Sonnenschein1987

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Also ich verstehe das jetzt so, dass die Differenzierbarkeit gleich der Stetigkeit ist, weil du ja schreibst, dass man das genauso machen kann. Da gibt es aber doch einen Unterschied....

31.12.2006, 17:59

vektorraum

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Hi!

Nein, so wie du es verstehst ist es falsch. Es gilt im Allgemeinen nur eine Richtung. Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, jedoch folgt aus Stetigkeit nicht Differenzierbarkeit.
Nimm dir da einfach mal das Beispiel der Betragsfunktion $\begin{eqnarray*} g(x)=|x| \end{eqnarray*}$ . Die Funktion ist stetig, jedoch ist sie im Nullpunkt nicht differenzierbar!
Schau dir nochmal die Definition von stetig und differenzierbar an. Wie du siehst gibt es da doch einen Unterschied!

31.12.2006, 18:03

Sonnenschein1987

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Also differenzierbar ist eine Funktion wenn ein Grenzwert an der Stelle x existiert.
Stetig ist eine Funktion wenn der Grenzwert von f(x+h) = f(x) ist.

Warum ist eine Funktion jetzt stetig, wenn der Grenzwert existiert (sprich, wenn sie differenzierbar ist)? Der Grenzwert kann doch existieren (--> Funktion ist differenzierbar), muss aber doch nicht gleich f(x+h) sein (--> Voraussetzung für die Stetigkeit)!

Außerdem existiert doch auch der Grenzwert wenn f(x+h) = f(x) ist, oder? Dies hieße ja dann das aus Stetigkeit auch Differenzierbarkeit folgt.

Denke ich da irgendwie falsch?

31.12.2006, 18:10

vektorraum

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Ich glaube du vertauscht und verdrehst jetzt einiges. Differenzierbarkeit ist i.A. eine stärkere Forderung an eine Funktion als Stetigkeit (siehe Beispiel).

Die Definition von Differenzierbarkeit an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ lautet doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow x_0}\cfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_0\in I=[a,b]\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$

Beim Begriff der Stetigkeit gibt es mehrere Definitionen, die aber allesamt das gleiche ausdrücken. system-agent hat die (finde ich zumindest) am einfachsten zu zeigene Variante genannt:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:I\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \Leftrightarrow~\lim_{x\rightarrow x_0}~f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$

Im Moment kann ich nämlich nichts mit deiner Definition von Stetigkeit anfangen verwirrt

verwirrt

Der dritte Satz von dir ist sehr verwirrend und inhaltlich auch falsch. Überdenk das nochmal!

Edit: Code

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01.01.2007, 16:00

Sonnenschein1987

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Hallo,

da ich da immer noch nicht wirklich durchblicke, versuche ich es jetzt mal mit einem Beispiel.

Aufg.:
Ist folgende Funktion bei x = 0 stetig und differenzierbar?

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x² * \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ für x ungleich 0

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für x = 0

(zusammengesetzte Funktion)

Wenn ich diese Funktion jetzt auf Stetigkeit an der Stelle x = 0 untersuchen muss, wie gehe ich da vor? Wir haben das nicht wirklich besprochen, es wurde nur irgendwas von einem "Einschließungskriterium" gesagt.

Ich wäre schon froh, wenn ich jetzt erstmal die Stetigkeit an dem Beispiel verstehen würde. Zur Diffenrenzierung frage ich später dann vielleicht etwas.

01.01.2007, 19:28

vektorraum

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Hi!

Schau dir doch einfach mal in Ruhe die Definition an und setze dann alles ein. Fangen wir also an mit der Stetigkeit:

Wir untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ stetig ist, d.h. es ist zu zeigen

$\begin{eqnarray*} f(x_0)=0=\lim_{x\rightarrow 0}~2x^2\cdot \sin\left(\cfrac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Nun schau dir die rechte Seite einfach mal an. Was kannst du darüber aussagen?

Wegen Differenzierbarkeit. Definition einsetzen! Also:
Ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ diff'bar? Es ist zu zeigen, dass der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow x_0}~\cfrac{\left(2x^2\cdot \sin\left(\cfrac{1}{x}\right)\right)-\left(2x_0^2\cdot\sin\left(\cfrac{1}{x_0}\right)\right)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow 0}~2x\cdot\sin\left(\cfrac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

exisitert. Leider muss ich zugeben, dass ich vom "Einschließungskriterium" noch nie was gehört habe.

01.01.2007, 20:36

Sonnenschein1987

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Zitat:

Original von vektorraum
Hi!

Schau dir doch einfach mal in Ruhe die Definition an und setze dann alles ein. Fangen wir also an mit der Stetigkeit:

Wir untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ stetig ist, d.h. es ist zu zeigen

$\begin{eqnarray*} f(x_0)=0=\lim_{x\rightarrow 0}~2x^2\cdot \sin\left(\cfrac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Nun schau dir die rechte Seite einfach mal an. Was kannst du darüber aussagen?

Wenn x gegen 0 geht geht 2x² auch gegen null. Ich weiß jetzt nicht, ob der ganze Ausdruck gegen 0 geht, glaube aber das ein sin immer zwischen 1 und -1 liegt. Wenn das so ist, geht also der ganze Ausdruck gegen 0.
Wie ich das aber jetzt aufschreiben müsste, ist mir nicht klar. Ich könnte einfach

$\begin{eqnarray*} lim_{x\rightarrow 0}~2x^2\cdot \sin\left(\cfrac{1}{x}\right)=0 \end{eqnarray*}$

schreiben, aber ich glaube kaum, dass man damit zufrieden sein wird. Irgendwie fehlt da ja ein Zwischenschritt oder eine Erklärung?!

02.01.2007, 13:17

vektorraum

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Alles klar. Ich habe nochmal nachgelesen. Das Einschließungskriterium lautet für Funktionen:

Ist $\begin{eqnarray*} g(x)\leq f(x)\leq h(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow a}~g(x)=\lim_{x\rightarrow a}~h(x)=\zeta \end{eqnarray*}$ , so ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow a}~f(x)=\zeta \end{eqnarray*}$ .

Nun, wenden wir das nun auf diese Aufgabe an. Wir betrachten

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0}~2x^2\cdot \sin\left(\cfrac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ .
Der Term $\begin{eqnarray*} \sin\left(\cfrac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ hat bei null keinen Grenzwert, da $\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{x} \end{eqnarray*}$ nach unendlich wächst und der Seinus daher unendlich oft alle Werte zwischen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ annimmt. Da der Sinus aber beschränkt ist, hat man aber noch etwas Glück. Wegen
$\begin{eqnarray*} -1\leq \sin\left(\cfrac{1}{x}\right)\leq 1 \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} -2x^2 \leq 2x^2\sin\left(\cfrac{1}{x}\right)\leq 2x^2 \end{eqnarray*}$ .

Da beide äußeren Terme für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert Null haben, hat auch $\begin{eqnarray*} 2x^2\sin\left(\cfrac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ denselben Grenzwert.
Das ist auch gut, den damit ist die Funktion stetig (siehe Definition - ist also erfüllt).

Nun alles klar???

03.01.2007, 20:52

Sonnenschein1987

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Sorry, dass ich erst jetzt antworte - aber ich war gestern krank.

Das mit dem Einschließungskriterium bzgl. der Stetigkeit habe ich jetzt verstanden. Danke!

Jetzt begebe ich mich mal an die Differenzierbarkeit.

Vorab würd ich aber gerne wissen, ob ich das was ich jetzt aufschreibe so richtig ist:

Stetigkeit bedeutet, dass die Funktion an der zu untersuchenden Stelle definiert sein ist und der rechts- und linksseiteige Grenzwert der Stelle mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Differenzierbarkeit bedeutet, dass die Funktion nicht nur an der zu untersuchenden Stelle definiert sein muss, sondern auch in einem anderen Punkt nämlich dem Punkt x+h. Daraus lässt sich dann der Differenzenquotient bilden. Nur wie - weiß ich noch nicht (bzgl. des obigen Beispiels...)

Hab ich das bis jetzt richtìg verstanden?

EDIT: Differenzenquotient:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)² * sin \frac{1}{(x+h)}-2x² * sin \frac{1}{x}} {h} \end{eqnarray*}$

So, laut Funktionsvorschrift ist
$\begin{eqnarray*} 2x²*sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ (an der Stelle x = 0) $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt, also im folgendem Term:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)² * sin \frac{1}{(x+h)}} {h} \end{eqnarray*}$

x gegen 0 laufen lassen??

Wenn das so ist, hätte ich ja dann noch

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2h * sin \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Wenn ja, wie muss ich dass dann aufschreiben, wenn ich zwischenzeitlich auch noch x gegen 0 laufen lasse und das "h gegen 0" stehen bleiben soll?

Und woher weiß ich jetzt, ob dieser Diffenrenzenquotient existiert, d.h. ob die Funktion an der Stelle x = 0 differenzierbar ist (Ausgangsfrage)?

Oder ist der Diffenrenzenquotient jetzt falsch???

03.01.2007, 22:10

system-agent

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Zitat:

Original von Sonnenschein1987
Stetigkeit bedeutet, dass die Funktion an der zu untersuchenden Stelle definiert sein ist und der rechts- und linksseiteige Grenzwert der Stelle mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Freude

Zitat:

Original von Sonnenschein1987
Differenzierbarkeit bedeutet, dass die Funktion nicht nur an der zu untersuchenden Stelle definiert sein muss, sondern auch in einem anderen Punkt nämlich dem Punkt x+h. Daraus lässt sich dann der Differenzenquotient bilden. Nur wie - weiß ich noch nicht (bzgl. des obigen Beispiels...)

nicht ganz korrekt. für die diff'barkeit muss die funktion in einem punkt nicht nur definiert sein, sondern auch stetig, sonst ist sie auf jeden fall nicht diff'bar. beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x):=\left\{\begin{array}{cl}x\qquad x\leq0 \\ 5\qquad x>0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$
diese funktion ist in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ definiert aber nicht stetig...

Zitat:

Original von Sonnenschein1987

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)² * sin \frac{1}{(x+h)}} {h} \end{eqnarray*}$

x gegen 0 laufen lassen??

bis hierher ist alles ok, nur dass du deinen limes genauer anschauen musst. da steht extra drunter, dass du $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gegen null laufen lassen sollst. das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ da drinne kannste dem berühmten hasen schenken.

insgesamt musst du nun überprüfen, ob die beiden differentialquotienten, also der links wie rechtsseitige gleich sind. sind sie das, so ist die funktion diff'bar.

03.01.2007, 22:29

Sonnenschein1987

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Zitat:

nicht ganz korrekt. für die diff'barkeit muss die funktion in einem punkt nicht nur definiert sein, sondern auch stetig, sonst ist sie auf jeden fall nicht diff'bar. beispiel:
$\begin{eqnarray*} f(x):=\left\{\begin{array}{cl}x\qquad x\leq0 \\ 5\qquad x>0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$
diese funktion ist in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ definiert aber nicht stetig...

ok, das hab ich verstanden. Stetigkeit ist eine Voraussetzung für Diff-barkeit.

Zitat:

bis hierher ist alles ok, nur dass du deinen limes genauer anschauen musst. da steht extra drunter, dass du $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ gegen null laufen lassen sollst. das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ da drinne kannste dem berühmten hasen schenken.

Wie, dem Hasen schenken??? Was genau meinst du mit dieser "Redewendung"?

Zitat:

insgesamt musst du nun überprüfen, ob die beiden differentialquotienten, also der links wie rechtsseitige gleich sind. sind sie das, so ist die funktion diff'bar.

Ok, und wie genau mache ich das? einmal +h und einmal -h???

04.01.2007, 16:37

system-agent

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damit habe ich gemeint, dass du das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erstmal vergessen kannst. es ist eine konstante. du hast es ja schon eingesetzt, denn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . allgemein lautet es ja so:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
und bei dir ist eben dieses $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . das bedeutet du lässt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nicht gegen null laufen, sondern setzt es schlicht ein.

was die formalität angeht, ja, du müsstest den differenzialquotienten einmal für "+h" und einmal für "-h" betrachten, ausser du lässt dir eine gute begründung einfallen, dass das gleiche rauskommt und daher die betrachtung nur für eine seite nötig ist. aber prinzipiell hast du recht, man muss beides machen.

04.01.2007, 17:42

Sonnenschein1987

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Ok,

dann hätte ich einmal:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2h * sin \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$

und einmal:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2h * sin \frac{1}{-h} \end{eqnarray*}$

So, $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 2h \end{eqnarray*}$ ist wohl immer $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ ;-)

Aber mit dem $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ hab ich jetzt so meine Probleme, weil das ja eine zyklische Funktion ist...
Ich weiß nicht genau ob man jetzt sagen kann, dass der ganze Ausdruck für $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht, eigentlich ja schon, weil ein Produkt immer dann Null wird wenn einer der Faktoren (hier 2h) gleich 0 ist

04.01.2007, 18:18

vektorraum

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Hi!

Übrigens weiß ich auch, warum der Begriff Einschließungskriterium mir nix gesagt hat - hab es unter dem Begriff "Sandwich-Prinzip" kennengelernt - nun ja muss auch halt in der Mathematik irgendwelche Anglizismen geben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du willst nun zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow 0}~2h\cdot \sin\left(\cfrac{1}{h}\right)=0 \end{eqnarray*}$

ist??? Dann machst du das mit der gleichen Begründung wie oben, also kurz: Der Term $\begin{eqnarray*} \sin(\frac{1}{h}) \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, $\begin{eqnarray*} 2h \end{eqnarray*}$ geht für $\begin{eqnarray*} h \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ gegen null. Damit geht das gesamt Produkt nach der Begründung wie oben gegen Null!

Edit: Text

04.01.2007, 18:33

Sonnenschein1987

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Sandwich-Prinzip :-D

Ja ok, das könnte ich wohl so machen...

So, und weil dann für +h und für -h dasselbe rauskommt, existiert der Differenzialquotient und die Funktion ist diff'bar?!!

Wenn dies so ist, wundere ich mich was sich die Autoren von Mathe-Büchern denken ;-). Die schreiben immer "Der Differenzialquotient muss existieren". Aber wie man guckt ob der existiert, steht nirgendwo :'-(.
Menno! *frust-rauslass*

EDIT:
Ok, vielleicht hab ich den Mathe-Buch-Schreibern Unrecht getan ;-)... Ich glaube jetzt sogar, dass man h einfach nur gleich 0 setzen muss und dann gucken muss, ob der Grenzwert "da ist" oder "schwankt". Hier wäre er "da", da der Sinus ja zwischen 1 und -1 beschränkt ist und der andere Faktor Null ist...

Weiß auch nicht wir ich da auf +h und -h gekommen bin (hab wohl an Grenzwert-Berechnung gedacht...)

05.01.2007, 13:20

system-agent

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korrekterweise existiert der grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\sin(x) \end{eqnarray*}$
schlicht nicht (auch wenn man zum beispiel mit mathematica da als ergebnis das intervall $\begin{eqnarray*} [-1;1] \end{eqnarray*}$ herausbekommt).

ja aber die sache mit "+h" bzw. "-h" müsste man korrekterweise schon machen. nimm beispielsweise die betragsfunktion
$\begin{eqnarray*} f(x):=|x| \end{eqnarray*}$ und die stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . stetigkeit ist klar. die diff'barkeit an dieser stelle geht schlicht nicht, da der links- bzw. rechtsseitige grenzwert verschieden sind (-1 und +1) und damit DER grenzwert nicht existiert, also die funktion an dieser stelle einfach nicht diff'bar ist. wenn man hier die sache nur für "+h" bzw. "-h" betrachtet kommt man natürlich auf einen falschen schluss.

05.01.2007, 18:39

Sonnenschein1987

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Zitat:

Original von system-agent
korrekterweise existiert der grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\sin(x) \end{eqnarray*}$
schlicht nicht (auch wenn man zum beispiel mit mathematica da als ergebnis das intervall $\begin{eqnarray*} [-1;1] \end{eqnarray*}$ herausbekommt).

Aber ich wollte doch den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} sin (h) \end{eqnarray*}$ bzw. von $\begin{eqnarray*} sin (1/h) \end{eqnarray*}$ und nicht den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\sin(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to\infty}\sin(1/h) \end{eqnarray*}$ berechnen. Also ich meine bei mir sollte es gegen Null und nicht gegen unendlich gehen Macht das jetzt einen Unterschied?

Zitat:

Original von system-agent
ja aber die sache mit "+h" bzw. "-h" müsste man korrekterweise schon machen. nimm beispielsweise die betragsfunktion
$\begin{eqnarray*} f(x):=|x| \end{eqnarray*}$ und die stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . stetigkeit ist klar. die diff'barkeit an dieser stelle geht schlicht nicht, da der links- bzw. rechtsseitige grenzwert verschieden sind (-1 und +1) und damit DER grenzwert nicht existiert, also die funktion an dieser stelle einfach nicht diff'bar ist. wenn man hier die sache nur für "+h" bzw. "-h" betrachtet kommt man natürlich auf einen falschen schluss.

Wie kommt man denn bei der Betragsfunktion auf die Grenzwerte +1 und -1? Die Betragsfkt. nimmt doch keine negativen Werte an.

06.01.2007, 11:05

system-agent

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du hast schon recht, aber das was ich bei meinem limes als $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ geschrieben habe, kommt bei deinem limes als $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ vor, aber es ist ja: $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0+}\frac{1}{h}=\infty \end{eqnarray*}$ , von dem her hab ich schon den gleichen grenzwert gemeint, hatte mir nur den bruch im argument gespart!

für die betragsfunktion gilt ja:
$\begin{eqnarray*} f(x):=|x|=\left\{\begin{array}{cl}-x\qquad x\leq 0 \\ x \qquad x >0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$ .
wenn man dann den differentialquotienten aufstellt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0-}\frac{-x-0}{x-0}=\lim_{x\to0-}\frac{-x}{x}=\lim_{x\to0-}-1=-1 \end{eqnarray*}$
und für die andere seite:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0+}\frac{x-0}{x-0}=\lim_{x\to0+}1=1 \end{eqnarray*}$

also sind das zwei unterschiedliche werte. hier existieren lediglich der rechte sowie den linke grenzwert, aber der gemeinsame grenzwert, der für die diff'barkeit wichtig ist, existiert nicht.

06.01.2007, 18:56

Sonnenschein1987

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Ok, danke!

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