Beweisführung Erwartungswert

08.10.2011, 11:56

ChrisL1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweisführung Erwartungswert

Mit Hilfe der Rechenregeln für den Erwartungswert zeige man allgemein: Der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X - \alpha)^2 \end{eqnarray*}$ der quadratischen Abweichung einer Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von einem Wert $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist dann am kleinsten, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gleich dem Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist.

Die Rechenregeln sind meines Wissens nach folgende:

$\begin{eqnarray*} E(X + Y) = E(X) + E(Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(aX + b) = aE(X) + b \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X \cdot Y) = E(X) \cdot E(Y) \end{eqnarray*}$
falls X und Y unabhängig sind

Leider finde ich hier keinerlei Ansatz wie ich diesen Beweis antreten soll. Könnt ihr mir vielleicht einen Starthinweis geben?

Besten Dank im Voraus und lg
Christoph

08.10.2011, 12:24

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweisführung Erwartungswert
Wenn hier mit "Mittelwert" eine andere Bezeichnung für Erwartungswert gemeint ist (nennt man ja manchmal so und die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ suggeriert das auch ein bisschen), ist es nicht so schwer:

Schreibe $\begin{eqnarray*} E(X-\alpha)^2=E[(X-E(X)+E(X)-\alpha)^2] \end{eqnarray*}$ und rechne weiter.

08.10.2011, 15:23

ChrisL1988

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweisführung Erwartungswert

Zitat:

Original von Dennis2010
Wenn hier mit "Mittelwert" eine andere Bezeichnung für Erwartungswert gemeint ist (nennt man ja manchmal so und die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ suggeriert das auch ein bisschen), ist es nicht so schwer:

Schreibe $\begin{eqnarray*} E(X-\alpha)^2=E[(X-E(X)+E(X)-\alpha)^2] \end{eqnarray*}$ und rechne weiter.

Wie kommst du darauf, dass du $\begin{eqnarray*} - E(X) + E(X) \end{eqnarray*}$ einfügst? Damit man im nächsten Schritt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ abziehen kann?

So:

$\begin{eqnarray*} E(X - \alpha)^2 = E[(X-E(X))^2] \end{eqnarray*}$

Dann mit der binomischen Formel weiter?

Danke und lg
Christoph

08.10.2011, 15:27

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweisführung Erwartungswert
Man kann doch addieren (und dann wieder subtrahieren) was man will.

Wende direkt darauf die binomische Formel an!

08.10.2011, 15:57

ChrisL1988

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweisführung Erwartungswert

Zitat:

Original von Dennis2010
Man kann doch addieren (und dann wieder subtrahieren) was man will.

Wende direkt darauf die binomische Formel an!

Wollte nur sicher gehen smile

smile

Habe jetzt die binomische Formel direkt auf die Einstiegsformel angewendet:

$\begin{eqnarray*} E(X-\alpha)^2=E[(X-E(X)+E(X)-\alpha)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X-\alpha)^2 = E[X^2 - 2 \cdot \alpha X - 2 \cdot \alpha E(X) + \alpha^2] \end{eqnarray*}$

Hmm, aber was jetzt verwirrt

verwirrt

08.10.2011, 16:00

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

So meine ich das mit der binomischen Formel nicht, sondern:

Fasse die Subtraktionen jeweils als Summanden auf und wende dann die binomische Formel an.

Also $\begin{eqnarray*} a:=X-E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b:=E(X)-\alpha \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Anzeige

08.10.2011, 16:15

ChrisL1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
So meine ich das mit der binomischen Formel nicht, sondern:

Fasse die Subtraktionen jeweils als Summanden auf und wende dann die binomische Formel an.

Also $\begin{eqnarray*} a:=X-E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b:=E(X)-\alpha \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Gut, aber komme ich dann nicht schlussendlich auf dasselbe?

Ich mache jetzt die binomische Formel nach deinem Ansatz, dann habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} E(X - \alpha)^2 = E[(X-E(X))^2 + 2 \cdot (X-E(X)) \cdot (E(X) - \alpha) + (E(X) - \alpha)^2] \end{eqnarray*}$

Jetzt könne ich auf die inneren Klammern noch einmal die Binomische Formeln anwenden:

$\begin{eqnarray*} E(X - \alpha)^2 = E[X^2 - 2 \cdot X \cdot E(X) + E(X)^2 + 2 \cdot (X-E(X)) \cdot (E(X) - \alpha) + E(X)^2 - 2 \cdot E(X) \cdot \alpha + \alpha^2] \end{eqnarray*}$

Dann könnte ich noch die ganz innerste Klammer auflösen:

$\begin{eqnarray*} E(X - \alpha)^2 = E[X^2 - 2 \cdot X \cdot E(X) + E(X)^2 + 2 \cdot X \cdot E(X) - 2 \cdot X \cdot \alpha - 2 \cdot E(X)^2 + 2 \cdot E(X) \cdot \alpha + E(X)^2 - 2 \cdot E(X) \cdot \alpha + \alpha^2] \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann jetzt kürze komme ich auf die Urpsrungs Binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} E(X - \alpha)^2 = E[X^2 - 2 \cdot \alpha \cdot X + \alpha^2] \end{eqnarray*}$

Hmm verwirrt

verwirrt

08.10.2011, 16:27

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, ich habe mir das jedenfalls so gedacht:

$\begin{eqnarray*} E[(X-EX+EX-\alpha)^2]=E[(X-EX)^2+2(X-EX)(EX-\alpha)+(EX-\alpha)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E[(X-EX)^2]+2E[(X-EX)(EX-\alpha)]+E[(EY-\alpha)^2] \end{eqnarray*}$

08.10.2011, 16:32

ChrisL1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
Keine Ahnung, ich habe mir das jedenfalls so gedacht:

$\begin{eqnarray*} E[(X-EX+EX-\alpha)^2]=E[(X-EX)^2+2(X-EX)(EX-\alpha)+(EX-\alpha)^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E[(X-EX)^2]+2E[(X-EX)(EX-\alpha)]+E[(EY-\alpha)^2] \end{eqnarray*}$

Okay, das heißt du trennst bevor du weiterrechnest. Und wie würdest du dann weitergehen?
Bei erstem und dritten Erwartungswert weiter mit binomischer Formel und den mittleren Erwartungswert innen ausmultiplizieren?

08.10.2011, 16:33

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Summand ist die Varianz von X.

Der zweite Summand ist m.E. 0.

Der dritte Summand bleibt so stehen.

Alles wird minimal, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha=E(X) \end{eqnarray*}$ und der Minimalwert ist also Var(X).

08.10.2011, 16:35

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, wenn ich mich einschalte, aber ich denke auch, dass es günstiger ist einfach die Funktion $\begin{eqnarray*} f(\alpha)=E((X-\alpha)²) \end{eqnarray*}$ mittels Ableitung zu minimieren.

08.10.2011, 16:38

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nur zu! Ich habe nur meine Idee aufgeschrieben.

08.10.2011, 16:38

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
aber ich denke auch, dass es günstiger ist einfach die Funktion $\begin{eqnarray*} f(\alpha)=E((X-\alpha)²) \end{eqnarray*}$ mittels Ableitung zu minimieren.

Halte ich nicht für günstiger: Hier liegt eine quadratische Funktion in $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ vor, und dass die ihr Minimum im Scheitelpunkt hat, dazu braucht man keine Differentialrechnung. Der von Dennis2010 vorgezeichnete, aber von ChrisL1988 in der Motivation leider nicht verstandene Weg führt gerade zu dieser Scheitelpunktform hin.

08.10.2011, 16:44

ChrisL1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
Der erste Summand ist die Varianz von X.

Der zweite Summand ist m.E. 0.

Der dritte Summand bleibt so stehen.

Alles wird minimal, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha=E(X) \end{eqnarray*}$ und der Minimalwert ist also Var(X).

So ganz habe ich es wirklich noch nicht verstanden, aber da hilft wohl nichts, außer sich mit dem Thema noch weiter auseinander zu setzen.

Danke euch allen für eure Hilfe smile

smile

08.10.2011, 16:47

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass der zweite Summand 0 ist, kann ich auch nicht so sicher begründen.
Stimmt das?

Und wer kann es von Beginn an besser erklären als ich?

08.10.2011, 16:49

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte an
$\begin{eqnarray*} f(\alpha)=E((X-\alpha)²)=E(X²-2\alpha X+\alpha²) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =E(X²)-2\alpha E(X)+E(\alpha²)=E(x²)-2\alpha E(X)+\alpha² \end{eqnarray*}$

Das ergibt abgeleitet
$\begin{eqnarray*} f'(\alpha)=-2E(X)+2\alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(\alpha)=2>0 \end{eqnarray*}$

Also ist die Nullstelle der ersten Ableitung zwingend ein Minimum der Funktion.

Wobei ReneGruber natürlich nicht unrecht hat, dass Differentialrechnung bei quadratischen Funktionen vielleicht übertrieben ist. Man kann genauso gut die Scheitelpunktsform ermitteln und kommt dann zu dem Ergebnis von Dennis.
Mich störte im ersten Moment nur die Tatsache, dass man erstens einen Kunstgriff machen muss, um auf die Darstellung zu kommen und zweitens die Bemerkungen bzgl. des Terms nicht ganz offensichtlich (aber natürlich trotzdem richtig) sind.

08.10.2011, 16:55

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Helferlein
dass man erstens einen Kunstgriff machen muss

Dieser Kunstgriff ist recht üblich: Mit der zentrierten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X-E(X) \end{eqnarray*}$ arbeitet sich nun mal in vielen Situationen besser als mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , weil eben durch das $\begin{eqnarray*} E(X-E(X))=0 \end{eqnarray*}$ viele Zwischenterme schön wegfallen. Diesen Vorteil hatte natürlich ChrisL1988 anfänglich mit der exzessiven Ausmultipliziererei verspielt, sicher weil ihm diese Motivation nicht geläufig war.

08.10.2011, 17:06

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt muss ich selbst doch nochmal nachfragen, denn anscheinend habe ich das mehr intuitiv gemacht...

Was ist hier die Funktion, die man in Scheitelform bringt und wieso ist

E(X-E(X)=0?

08.10.2011, 17:13

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Linearität des Erwartungswertes:

$\begin{eqnarray*} E(X-E(X)) = E(X) - E(E(X)) = E(X) - E(X) = 0 \end{eqnarray*}$ ,

denn beim Subtrahenden ist $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ eine Konstante, und für Konstanten gilt ja $\begin{eqnarray*} E(c)=c \end{eqnarray*}$ .

Und da wir gerade bei derlei Erklärungen sind: Im mittleren Ausdruck $\begin{eqnarray*} E[(X-E(X))(E(X)-\alpha)] \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (E(X)-\alpha) \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine Konstante und kann deswegen zunächst rausgezogen werden:

$\begin{eqnarray*} E[(X-E(X))(E(X)-\alpha)] = (E(X)-\alpha) \cdot E(X-E(X)) \end{eqnarray*}$ ,

was nach den vorgenannten Bemerkungen dann gleich Null ist.

Zitat:

Original von Dennis2010
Was ist hier die Funktion, die man in Scheitelform bringt

Wir sind ja bei

$\begin{eqnarray*} E[(X-\alpha)^2] = E[(X-E(X))^2]+(E(X)-\alpha)^2 = \operatorname{var}(X) + (\alpha-E(X))^2 \end{eqnarray*}$ ,

das ist eine quadratische Funktion in $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , die zudem so bereits in Scheitelpunktform

$\begin{eqnarray*} f(\alpha) = (\alpha-x_s)^2 + y_s \end{eqnarray*}$

vorliegt, der Scheitelpunkt ist dabei $\begin{eqnarray*} (x_s,y_s)=(E(X),\operatorname{var}(X)) \end{eqnarray*}$ .

08.10.2011, 17:22

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank.

Dass man den Kunstgriff (-E(X)+E(X) einschieben) macht, fällt aber schon ein bisschen vom Himmel, oder?

Sowas sagt einem die Erfahrung, denke ich mal.

08.10.2011, 17:26

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal eine Frage: Bei alledem ist vorausgesetzt, daß X eine reelle Zufallsvariable ist?

(Ich weiß, Du kannst auch nicht Hellsehen, denn in der Frage steht es nicht...)

08.10.2011, 17:28

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings. Falls du auf komplexe Zufallsvariablen anspielst, dort ist die Varianz anders definiert.

08.10.2011, 17:30

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann ist die Frage für mich erledigt, ich hoffe, auch für den Fragesteller. Vielleicht hilft es ihm, daß ich nochmal nachgehakt habe und Du es sehr ausführlich nochmal erklärt hast (übrigens äußerst gut!).

Die einzige Schwierigkeit bei diesem Lösungsweg ist vermutlich das, was Dui "Kunstgriff" genannt hast. Das muss man vermutlich sich einfach mal merken. Ich hab es intuitiv richtig gemacht, aber wusste nicht, daß das öfter mal gerne angewandt wird.

08.10.2011, 17:41

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
Die einzige Schwierigkeit bei diesem Lösungsweg ist vermutlich das, was Du "Kunstgriff" genannt hast.

Das war Helferlein, ich sehe es nicht so sehr als das, sondern als eine völlig normale Sache. Auch in anderen Teilgebieten der Mathematik ist so eine "nahrhafte Null" wie hier $\begin{eqnarray*} -E(X)+E(X) \end{eqnarray*}$ nicht unüblich.

08.10.2011, 17:45

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber auf die Idee muss man erstmal kommen.
Für jemanden, der unerfahren ist, mutet das schon ein bisschen wie "Magie" an.

Finde ich zumindest.

Denn bis zu der Scheitelpunktform ist es da noch ein relativ weiter Weg und naja, wie ich es auch drehe und wende: Auf sowas kommt nicht jeder. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber auch ein blindes Huhn findet mal ein Korn. Lehrer

Lehrer

08.10.2011, 17:48

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann ja auch schlicht

$\begin{eqnarray*} E[(X-\alpha)^2] = E[X^2] - 2E[X]\alpha + \alpha^2 \end{eqnarray*}$

rechnen und erst danach eine quadratische Ergänzung bzgl. Variable $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durchführen, kommt an sich auf's selbe raus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.10.2011, 17:54

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Idee!

Stimmt!!

Das ist schon weitaus weniger Magie!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »