Parameteraufgabe / Symmetrie

08.10.2011, 14:25

Jowi20

Parameteraufgabe / Symmetrie

Meine Frage:
Hallo,
brauche eure Hilfe. Ich habe bis jetzt Funktionsuntersuchungen nur mit Funktionen OHNE Parameter berechnet. Jetzt wollte ich eine Funktionsuntersuchung zu dieser Funktion machen:
$\begin{eqnarray*} f_{a}(x) = x^{2}-a*x-1 \end{eqnarray*}$
Als aller erstes wollte ich die Symmetrie betrachten.
Eigentlich sieht man ja an den Exponenten, dass es weder Punkt- noch Achsensymmetrisch ist.
Man sieht auch, dass es sich um eine Parabel handelt (habs auch gezeichnet für a Werte über 0 und unter 0).
Aber eine Parabel ist doch immer Achsensymmetrisch wieso kommt dann keine Symmetrie raus?

Dann hab ich das hier versucht:
$\begin{eqnarray*} f_{a}(-x) = (-x)^{2} -a*(-x)-1 = x^{2} + a*x -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neq f_{a}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neq -f_{a}(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Daher keine Symmetrie für a > 0
Aber für a < 0 wäre es doch Achsensymmetrisch obwohl die Exponenten gemischt sind?!?!?!

Meine Ideen:
Siehe oben.

Vielen Dank im vorraus!

Gruß

08.10.2011, 14:31

Bjoern1982

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Zitat:

Aber eine Parabel ist doch immer Achsensymmetrisch wieso kommt dann keine Symmetrie raus?

Ganz genau (aber sage lieber genauer Parabel 2. Grades), entscheidend ist also die Symmetrie zu welcher Achse genau.
Das was du untersuchst bzw was meist auch in einer Funktionsuntersuchung geprüft wird, ist die Achsensymmetrie zur y-Achse.
Übrigens ist der Fall a=0 hier auch nicht ganz uninteressant zu betrachten. Augenzwinkern

08.10.2011, 14:35

Jowi20

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Bei a = 0 gäb es eine Achsensymmetrie.
Wenn a > 0 dann gibt es keine Symmetrie (obwohl das eine Parabel ist?!)
Wenn a < 0 dann gibt es wieder eine Achsensymmetrie.

Aber alle Funktionen sind eine Parabel und müssten Achsensymmetrisch sein. Obwohl... Die Exponenten sind ja gemischt? :S Ich bin total verwirrt.

08.10.2011, 14:41

Bjoern1982

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Ich hab dir die Antwort ja bereits genannt, nämlich dass du mit der Prüfung von f(x)=f(-x) bzw dem Schauen nach geraden Exponenten ausschließlich die Symmetrie zur y-Achse testest.
Ist halt die Frage was dein Lehrer da genau haben will.
Allgemein ergibt sich die Symmetriechase bei einer Parabel 2. Grades halt immer durch den Scheitelpunkt (HP oder TP).

Übrigens ist das hier auch noch falsch:

Zitat:

Aber für a < 0 wäre es doch Achsensymmetrisch obwohl die Exponenten gemischt sind?!?!?!

Denn x²+ax-1 ist ja auch für a<0 nicht dasselbe wie x²-ax-1, denn links steht dann was Negatives und rechts was Positives vor dem x.

08.10.2011, 14:48

Jowi20

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Ja also, wenn die Exponenten ungerade sind, dann liegt eine Punktsymmetrie vor. Aber bei dieser Funktion ist das ja nie der Fall.

"Denn x²+ax-1 ist ja auch für a<0 nicht dasselbe wie x²-ax-1, denn links steht dann was Negatives und rechts was Positives vor dem x. "
Für a<0 kommt raus f(x) raus. Also Achsensymmetrisch.
Denn f(-x) = f(x) ist Achsensymmetrisch
Und
f(-x) = -f(x) (Punktsymmetrie) kommt in keinem Fall heraus.

08.10.2011, 14:56

Bjoern1982

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Joa, es gibt zwei Möglichkeiten.
Entweder du glaubst daran was ich dir schreibe und setzt es auch um oder eben nicht.
Sowohl der Glaube (z.B. bist du überzeugt dass Achsensymm. vorliegt) als auch die Umsetzung (trotz mehrfachem Erwähnen, dass man schon dazu sagen muss zu welcher Achse oder zu welchem Punkt etwas symmetrisch ist, schreibst du es dennoch nicht dazu) sind offenbar nicht vorhanden.
Insofern kann ich dir leider nicht weiterhelfen. Wink

08.10.2011, 15:48

Jowi20

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Hmm^^ Ich bin mir nicht sicher was falsch und richtig ist, bin total verwirrt gerade.

08.10.2011, 16:01

Jowi20

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"Das was du untersuchst bzw was meist auch in einer Funktionsuntersuchung geprüft wird, ist die Achsensymmetrie zur y-Achse."
Gut also du meinst, dass ich nur die Symmetrie zur Y-Achse untersuche.
Aber es gilt ja allgemein:
Wenn f(-x) = f(x) Dann -> Achsensymmetrisch
Wenn f(-x) = -f(x) Dann -> Punktsymmetrisch
Der 2. Fall tritt ja nie auf. Entweder tritt eine Achsensymmetrie auf oder garkeine Symmetrie. Also Punktsymmetrie hab ich deswegen ausgeschlossen. Ist das falsch?

MfG

08.10.2011, 16:08

Jowi20

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SORRY^^ Ich bin so doof. Mit Achsensymmetrie meinte ich bis jetzt immer Symmetrie zur Y-Achse...

08.10.2011, 16:51

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn f(-x) = f(x) Dann -> Achsensymmetrisch zur y-Achse
Wenn f(-x) = -f(x) Dann -> Punktsymmetrisch zum Ursprung

Zitat:

Also Punktsymmetrie hab ich deswegen ausgeschlossen. Ist das falsch?

Dass allein wegen dem von a unabhängigen Summanden x² nichts mit Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegen kann, da sind wir uns wohl einig. Augenzwinkern

Zitat:

Mit Achsensymmetrie meinte ich bis jetzt immer Symmetrie zur Y-Achse...

Ok. Ist dir den auch klar wie man hier theoretisch auch eine allgemeine Symmetrieachse angeben kann (siehe auch mein Hinweis in meinem zweiten Beitrag) ?

08.10.2011, 18:19

Jowi20

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Achsooo. Ich glaube du meinst, die Symmetrie ergibt sich bei der Parabel dadurch, dass es ein Hochpunkt hat oder ein Tiefpunkt. Beispiel man hat: x²
Dann ist es Symmetrisch zur Y-Achse.
Bei -x² ist es Punktsymmetrisch.
Das meinst du doch oder?
Dann würde ich das so machen:

Für a > 0:
$\begin{eqnarray*} f(-x) = (-x)^{2} - a*(-x)-1 = x^{2} +a*x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neq f(x) \end{eqnarray*}$ (keine Symmetrie zur Y-Achse)
$\begin{eqnarray*} \neq -f(x) \end{eqnarray*}$ (keine Punktsymmetrie)

Für a = 0:
$\begin{eqnarray*} f(-x) = (-x)^{2} -0*(-x)-1 = x^{2} \end{eqnarray*}$

Für a < 0:
$\begin{eqnarray*} f(-x) = (-x)^{2} - (-a) * (-x) - 1 = x^{2} -a*x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f(x) \end{eqnarray*}$ also: Symmetrisch zur Y-Achse

Ist das richtig ^^

08.10.2011, 18:24

Bjoern1982

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Die Parabeln zu y=x² oder y=-x² haben doch dieselbe Symmetrieachse. verwirrt

Nein ich meine z.B. für den Fall a=1 entsteht ja die Funktion f(x)=x²-x-1.
Es ist leicht zu prüfen, dass der Tiefpunkt an der Stelle x=0,5 liegt und diese im Abstand von 0,5 zur y-Achse liegende Parallele ist natürlich dann hier die Symmetrieachse.

08.10.2011, 18:25

Jowi20

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Das mit a=0 war glaub ich falsch. Also nochmal:
$\begin{eqnarray*} f(-x) = (-x)^{2} -0*(-x)-1 = x^{2}-1 \end{eqnarray*}$
= f(x) also: Symmetrisch zur Y-Achse.

Das heißt also:
Wenn $\begin{eqnarray*} a \leq 0 \end{eqnarray*}$ dann gibt es eine Symmetrie zur Y-Achse.

08.10.2011, 18:32

Jowi20

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Die Parabeln zu y=x² oder y=-x² haben doch dieselbe Symmetrieachse. verwirrt

Ich hab es jahrelang so im Kopf, dass man einfach die Exponenten von x anschaut. Und in dem Fall a=1, ensteht f(x)=x²-x-1. Da hast du ja Recht. Aber es heißt ja x²-x^1 -1.
Und 1 gilt als ungerade. 2 Als gerade. Darum keine Symmetrie. Also so hat es mir auch mein Lehrer beigebracht unglücklich

08.10.2011, 18:40

Bjoern1982

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Deswegen spreche ich ja auch die ganze Zeit von einer allgemeinen Achsensymmetrie.
Und ich bin da auch nur drauf eingegangen, weil du weiter oben verwirrt weil es bei einer Parabel 2, Grades doch eigentlich immer eine Symmetrieachse vorliegt.
Ein letztes Mal: Wovon du sprichst bzw was du nun immer untersuchst, das ist die Symmetrie zu einer ganz bestimmten Achse, nämlich der y-Achse.
Dafür gilt dann allgemein für Polynome (ganzrationale Funktionen) das mit den geraden Exponenten.
Und wie erwähnt ist die Parabel zu y=x²-x-1 natürlich nicht symmetrisch zur y-Achse, aber in der Tat zur Achse x=0,5 (das ist eine Parallele zur y-Achse).

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