Mengen und Logik

08.10.2011, 21:59

zondan

Mengen und Logik

Meine Frage:
Hallo, ich habe nächste Woche meine ersten Übungen und verzweifle an Mengen und Logik.#
Hier die genaue Fragestellung:
"Seien $\begin{eqnarray*} A,B,C \subseteq M \end{eqnarray*}$ Mengen.
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \end{eqnarray*}$ ."

Meine Ideen:
Ich habe versucht die beiden Mengen zu zeichnen aber ich verstehe beim besten Willen nicht wie $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \end{eqnarray*}$ sein kann. Wenn überhaupt dann müsste es doch B sein da B die Obermenge von A ist.

Ich hab einfach keinerlei Anhaltspunkt wo ich weiter machen soll.

Edit: Ist wohl im falschen Forum gelandet, gehört in Analysis.

08.10.2011, 22:02

weisbrot

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RE: Mengen und Logik
du weist aber schon dass $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ die schnittmenge von A und B ist, also die menge, die genau die elemente enthält, die sowohl in A als auch in B sind. wenn sie B wäre, würde sie, da B obermenge zu A ist, auch elemente enthalten, die nicht in A sind..

edit:

Zitat:

Edit: Ist wohl im falschen Forum gelandet, gehört in Analysis.

ne ist hier schon ganz richtig

08.10.2011, 22:21

zondan

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RE: Mengen und Logik

Zitat:

Original von weisbrot
du weist aber schon dass $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ die schnittmenge von A und B ist, also die menge, die genau die elemente enthält, die sowohl in A als auch in B sind. wenn sie B wäre, würde sie, da B obermenge zu A ist, auch elemente enthalten, die nicht in A sind..

Ah ich weiß nicht woran ich gedacht habe, danke. Jetzt ist nur noch die Frage wie beweise ich das?

Zitat:

Original von weisbrot
ne ist hier schon ganz richtig

Na dann ist ja gut. smile

08.10.2011, 22:25

weisbrot

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RE: Mengen und Logik
das kannst du durch soeine mengentafel machen, indem du alle möglichkeiten durchgehst, wo ein element liegen kann. oder du zeigst direkt, dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \end{eqnarray*}$ folgt, und umgekehrt.

08.10.2011, 23:57

zondan

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Ich weiß nicht wie man zeigt das $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A\cap B=A \end{eqnarray*}$ folgt und ich weiß nicht was eine Mengentafel ist.
Ich kenne Wahrheitstabellen aber wie oder ob man die auch auf Mengen anwenden kann weiß ich nicht.

09.10.2011, 11:27

weisbrot

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mengentafeln sind in gewisser weise wahrheitstabellen ähnlich, aber wahrh.tab. sind eben für aussagen und meng.t. für mengen. du fängst mit A und B an und gehst alle möglichkeiten durch (so wie bei einer w.tab. mit w und f, nur dass w jetzt für " x ist in der menge" und f für "x ist nicht in der menge" stehen).
am besten ist es aber wohl wenn du es direkt zeigen kannst.
für das noch zu zeigende:

du hast als voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A\cap B=A :\Leftrightarrow A\cap B\subseteq A \wedge A \subseteq A\cap B \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} A \subseteq B :\Leftrightarrow (x\in A \Rightarrow x\in B) \end{eqnarray*}$

das sollte nicht besonders schwierig sein smile

09.10.2011, 15:30

zondan

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Also ich finde schon das das schwer ist. Ich überlege und suche jetzt schon seit ein paar Stunden im Internet und in meinen Büchern aber ich hab keine Ahnung wie man von
$\begin{eqnarray*} A\cap B=A :\Leftrightarrow A\cap B\subseteq A \wedge A \subseteq A\cap B \end{eqnarray*}$
auf $\begin{eqnarray*} A \subseteq B :\Leftrightarrow (x\in A \Rightarrow x\in B) \end{eqnarray*}$ kommen kann.

Abgesehen davon weiß ich auch nicht wie man von $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (x\in A \Rightarrow x\in B) \end{eqnarray*}$ kommt.

Was ich bis jetzt gemacht habe ist:
$\begin{eqnarray*} ((x\in A) \wedge (x\in B)) \subseteq A \wedge A \subseteq ((x\in A) \wedge (x\in B)) \end{eqnarray*}$

Aber was man mit dem $\begin{eqnarray*} \subseteq A \end{eqnarray*}$ machen kann weiß ich nicht und wie man dann auf diese Implikation kommt weiß ich schon gar nicht. unglücklich

Das kann doch nicht so schwer zu verstehen sein...

09.10.2011, 15:41

weisbrot

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du machst es dir aber auch sehr schwer..
$\begin{eqnarray*} :\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ bedeutet nur "ist definiert durch"
ich machs dir mal vor:

voraussetzung: $\begin{eqnarray*} A\cap B=A \end{eqnarray*}$ ,also $\begin{eqnarray*} ( A\cap B\subseteq A) \wedge (A \subseteq A\cap B) \end{eqnarray*}$

zeige: $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ ,also $\begin{eqnarray*} (x\in A \Rightarrow x\in B) \end{eqnarray*}$

also los:

sei $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , dann gilt auch $\begin{eqnarray*} x \in A\cap B \end{eqnarray*}$ (wegen voraussetzung $\begin{eqnarray*} A \subseteq A\cap B \end{eqnarray*}$ ) , also $\begin{eqnarray*} x\in A \wedge x\in B \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ - fertig!

ausgeschrieben ist das dann: $\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow x\in A\cap B \Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ((x\in A) \wedge (x\in B)) \subseteq A \wedge A \subseteq ((x\in A) \wedge (x\in B)) \end{eqnarray*}$

das ist übrigens kompletter unsinn, sowas wie $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ist eine aussaage und A ist eine menge, eine menge kann nicht teilmenge einer aussage sein

09.10.2011, 19:02

zondan

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Ich verstehe leider immer noch nicht wo
$\begin{eqnarray*} (x\in A \Rightarrow x\in B) \end{eqnarray*}$
herkommt bzw. woher du weißt das man das zeigen soll.
Oder muss/kann man das gar nicht im Vorhinein wissen und sieht es dann erst Ende?

09.10.2011, 19:38

miristlangweilig

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naja das folgt direkt aus der definition von A teilmenge von B!
de.wikipedia.org/wiki/Menge_%28Mathematik%29

09.10.2011, 19:42

weisbrot

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du weist doch dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ definiert ist durch $\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ , willst du also $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ zeigen, musst du $\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ zeigen. das kann man so machen:

$\begin{eqnarray*} x\in A \overset{\text{Voraussetzung}}{\Longrightarrow} x\in A\cap B \Leftrightarrow (x\in A \quad \text{und}\quad x\in B) \Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$

wir haben also gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$ ,also dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ , mit der voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} A\cap B=A \end{eqnarray*}$ , wovon wir $\begin{eqnarray*} A\subseteq A\cap B \end{eqnarray*}$ , was bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} x\in A\Rightarrow x\in A\cap B \end{eqnarray*}$ , benutzt haben ("Voraussetzung").

09.10.2011, 19:57

zondan

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Hmm ich bin mir nicht sicher ob ich den Rechenweg so ganz verstehe, aber ich weiß auch nicht was ich noch fragen könnte.
Deshalb bedanke ich mich jetzt für die großartige Hilfe und hoffe das es bald bei mir klick macht und ich Mengen verstehe...

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