Determinante |
| 09.10.2011, 11:56 | hannes_mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Determinante ich lerne gerade auf die zwischenprüfung in mathe dabei beschäftige ich mich mit linearen abbildungen und deren darstellungsmatrizen sei f eine lineare abbildung vom Vektorraum V nach W und die zugehörige matrix zu den basen A und B nenn ich mal M. so gilt: f(x)=M*v wobei x einVektor aus V ist. Nun hab ich von nem freund gehört dass mein prof wissen will was die det(M) bedeutet ich weiß wie man die Deterinante z.B. mit Sarrus berechnet und habgehört dass die det(M) dann angibt wie sich der aufgespannte Raum ändert stimmt dass so in etwa, oder gilt dass nur für Endomorphismen (würde ja eher sinn machen eigentlich, wenn ich im gleichen Raum bleib) und könnte mir jemand erklären warum genau die Determinante von M dafür ein MAß ist. Vielen Dank für eure Hilfe hannes |
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| 09.10.2011, 12:40 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was soll denn bedeuten? Falls du meinst, so ist das im Allgemeinen falsch. Die Abbildungsmatrix einer Linksmultiplikation mit einer Matrix ist im Allgemeinen nur dann die wieder die selbe Matrix, wenn es sich um die Standardbasis handelt. Und die Determinante gibt es sowieso nur bei Endomorphismen (bzw. lineare Abb. zwischen VRen gleicher endlicher Dimension, was dann bis auf Vorschaltung eines Isomorphismus auch ein Endomorphismus ist). Und da ist es in der Tat so, dass die Determinante ein Maß für die Veränderung des Volumens einer Menge ist, wenn man den Endormorphismus auf die Menge anwendet. |
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| 09.10.2011, 12:46 | hannes_mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke, und warum ist sie n maß dafür ? kann man das anschaulich erklären? |
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| 09.10.2011, 12:52 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Am anschaulichsten kann man es vielleicht so erklären: Die Determinante ist die eindeutige bestimmte multilineare, alternierdene n-Form, die die Standardbasis (spannt den Einheitswürfel auf) auf 1 schickt. Nun vergleiche mal das Volumen auf diese Eigenschaften: - der Einheitswürfel soll das Volumen 1 haben. - Ver-k-facht man eine Seitenlänge, so ver-k-facht sich auch das Volumen (multilinear) - Sind mind. 2 Vektoren linear abhängig, so wird nur höchstens eine Hyperebene (1 Dimension weniger) aufgespannt, welche das Volumen 0 haben soll. (alternierend) Etwas formaler ist dafür die Maßtheorie zuständig. Aber das sagt dir wahrscheinlich nichts, wenn du dich gerade mit LA I rumschlägst. |
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| 09.10.2011, 14:27 | hannes_mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke das leuchtet mir ein wie würdest du mit der maßtheorie argumentieren? |
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