Notwendige Bedingung für Konvergenz

31.12.2006, 18:55

ErRoRr-FuNCtiOn

Notwendige Bedingung für Konvergenz

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiß was zu tun ist.
Vllt könnt ihr mir weiterhelfen.

Die Aufgabe lautet:

Sei $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb R \ , \ n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , eine monoton fallende Nullfolge, und $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \geq 2 \end{eqnarray*}$

(1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann,wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^ \infty ~ p^k a_{p^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

(2) Ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ konvergent, so folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (na_n)=0 \end{eqnarray*}$

(3) Ist d(n) die Anzahl der Stelln in der Dezimaldarstellung von n, do ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{d(n)^sn} \end{eqnarray*}$ divergent für $\begin{eqnarray*} 0 \leq s \leq 1 \end{eqnarray*}$ und konvergent für $\begin{eqnarray*} s > 1 \end{eqnarray*}$

Es steht keine Aufgabenstellung dabei.Ich geh jetzt mal davon aus dass man das beweisen soll, oder denkt ihr dass man da nur in Worten was dazu schreiben soll?

31.12.2006, 19:17

therisen

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Ja, das sollst du beweisen. (1) ist übrigens unter dem Namen Verdichtungskriterium bekannt.

Gruß, therisen

02.01.2007, 14:22

Michi85

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Hallo,

bei der 1) sind ja wieder 2 Implikationen zu zeigen. Habe mit der "Hin"-richtung angefangen. Kann man das so machen:

Angenommen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent

==> $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~a_{p^{k}} \end{eqnarray*}$ konvergent

==> $\begin{eqnarray*} a_{p^{k}} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0 für n gegen unendlich.

==> $\begin{eqnarray*} p^{k}a_{p^{k}} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0 für n gegen unendlich.

==> $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~p^{k}a_{p^{k}} \end{eqnarray*}$ konvergent.

Oder kann man das nicht machen, weil Nullfolgentest nur notwendig aber nicht hinreichend ist?

Danke schon mal.

Gruß Michi

02.01.2007, 14:40

therisen

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Nein, das kann man so nicht machen. Betrachte als Gegenbeispiel die harmonische Reihe.

Gruß, therisen

02.01.2007, 14:48

Michi85

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Ok dann bin ich total überfragt bei der Aufgabe.

Hat da jemand vielleicht n Tipp auf Lager??

02.01.2007, 14:57

therisen

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Eine Beweisskizze ist hier zu finden: http://de.wikipedia.org/wiki/Verdichtungskriterium

Gruß, therisen

08.01.2007, 19:33

Chris2005

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RE: Notwendige Bedingung für Konvergenz

Zitat:

Original von ErRoRr-FuNCtiOn
Sei $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb R \ , \ n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , eine monoton fallende Nullfolge, und $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \geq 2 \end{eqnarray*}$

(1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann,wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^ \infty ~ p^k a_{p^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

wir haben in unserem skriptum das Verdichtungskriterium nur für p = 2 aufgeführt. Gilt das jetzt allgemein für p aus IR oder wie ist das ganze definiert?

danke, mfg Chris

08.01.2007, 19:39

therisen

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Nein, nur $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

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Notwendige Bedingung für Konvergenz

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