Gitterpolygone

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apfelchen Auf diesen Beitrag antworten »
Gitterpolygone
Meine Frage:
Gitterpolygone. Denken Sie sich ein kartesisches Koordinatensystem in der Zeichenebene,
nebst den sämtlichen Parallelen y = z und x = z, z Î Z. Diese Parallelen
bilden die Gitterlinien unseres Gitters, die Schnittpunkte (z | z?), z Î Z, der Gitterlinien
bilden die Gitterpunkte unseres Gitters. Offenbar entstehen quadratische Kästchen mit
Seitenlänge 1, also Flächeninhalt 1. Ein Gitterpolygon ist ein Polygon, dessen Eckpunkte
Gitterpunkte sind.
(i) Finden Sie eine Flächeninhaltsformel F = F(g, t) für rechtwinklige Gitterdreiecke,
deren Katheten auf Gitterlinien liegen, wobei g die Anzahl der Kästchen
ist, die ganz innerhalb des Dreiecks liegen, t die Anzahl der Kästchen ist, die
teilweise innerhalb des Dreiecks liegen. Beweisen Sie die Richtigkeit dieser
Formel für rechtwinklige Gitterdreiecke, deren Katheten auf Gitterlinien liegen.
(ii) Geben Sie ein konkretes Gitterdreieck (durch Koordinaten der Eckpunkte) an,
für das diese Formel falsch ist (samt Nachweis der Falschheit).

Meine Ideen:
Meine Idee war zu i)
F= g+1/2t gilt aber nur für gleichseitige Dreiecke.......
aber meint ihr das ist richtig??
oder habt ihr noch andere Ideen
Für ii) würde dann diese Formel nicht gelten, sobald es kein gleichseitiges Dreieck mehr ist....
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gitterpolygone
ich bin mir nicht sicher, ob ich das alles richtig übersetze:

i) dem würde ich zustimmen

wobei ich nicht nachvollziehen kann, was du unter einem gleichseitigen RECHTWINKELIGEN dreieck verstehst.

ii) nach langem rätseln vermute ich: vorsicht falle Augenzwinkern
die betonung liegt hier auf vermuten!
schluß: die formel (i) gilt nur (oder fast nur) für rechtwinkelige gitterdreiecke, deren katheten auf gitterlinien liegen! für beliebige rechtwinkelige gitterdreiecke also nicht (oder nicht immer).

beispiel im bilderl Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier soll wohl der Satz von Pick gefunden werden.
apfelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun versucht die Formel zu beweisen, dies ist mir denke ich auch ganz gut gelungen. Nun aber das Problem, meine Formel F=g+1/2t funktioniert doch immer oder ? auch bei dem oben gezeigten Bild.????
Wie soll ich beweisen bei welchen Dreiecken dies nicht funktioniert.Kann mir das noch nicht vorstellen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

zähle doch einfach geschockt
apfelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es funktioniert nicht.
Mein Beweis lautete erst, dass man durch eine 180 Grad Drehung ein Parallelogramm aus zwei kongruenten Dreiecken erstellt und .......dann durch halbierung der Flächen auf die Formel kommt usw.
Aber das funktioniert meiner Meinung nach immer egal ob die Katheten auf den Gitterpunkten liegen oder nicht,.... wenn mein Beweis überhaupt richtig ist...
 
 
apfelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Oder geht es nur darum, dass man bei einem Dreieck dessen Katheten nicht auf dem Gitter liegen die Kästchen nicht zählen kann, auch wenn man es um 180 Gran dreht und zum Parallelogramm ergänzt??? verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

was funktioniert denn nun nicht verwirrt
das zählen in "meinem" dreieck" verwirrt

den "beweis" zu (i) kannst du viel einfacher gestalten, denke ich, indem du an ein rechteck denkst bzw. zu einem ergänz(s?)t Augenzwinkern da mußt du nix drehen
apfelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich versuch es noch einmal genauer zu beschreiben.
Also ich habe es geschafft die Formel aufzustellen ud zu beweisen.
Das Problem ist nun, dass ich noch beweisen soll, dass die Formel nur für Dreiecke gilt, die ihre Katheten auf dem Gitter haben.
Ich soll also ein Gegenbeispiel finden, bei dem die Formel nicht funktionert und dieses beweisen.
Für dieses Problem fehlt mir die Idee.
Geht es nur um die Möglichkteit, Kästchen genau abzählen zu müssen oder bin ich noch total auf dem Holzweg. verwirrt
Ich danke dir aber schon mal für deine Hilfe und für dein Interesse smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du bist aber ganz schön bockig unglücklich

du sollst EIN beispiel mit den koordinaten der eckpunkte angeben:

wenn du mein 3eck ABC nimmst, so hast du



somit ist die formel für dieses 3eck falsch

(wenn ich mich nicht verzählt habe),
was willst du denn mehr Augenzwinkern

"wie es wirklich geht", steht bei Leopold
apfelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schon alles??? geschockt
Man dann stand ich ganz schön auf dem schlauch Hammer
Danke dann ist es mir endlich klar.... Gott
Sorry, wenn es so rüber kam, war nicht bockig, aber genervt von meinem auf dem Schlauch gestehe. Forum Kloppe
danke für die hilfe Wink
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