Näherungsbrüche

10.10.2011, 15:33

Steffen2361

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Näherungsbrüche

Meine Frage:
Hi,

Ich soll folgende Angabe in einen unendlichen Kettenbruch entwickeln.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Ich bin dankbar für jede antwort smile

smile

Meine Ideen:
hmmm

Ich hätte zuerstdie Würzel aus 6 berechnet.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = 2,44948... \end{eqnarray*}$

Die nun mittel Näherungsbruch aufgeschrieben als
$\begin{eqnarray*} [2,2,4,2.....] \end{eqnarray*}$

und diesen dann aufgeschrieben als Kettenbruch

$\begin{eqnarray*} 2+\frac{1}{2+\frac{1}{4+\frac{1}{2+...} } } \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig??

Danke smile

smile

10.10.2011, 16:35

galoisseinbruder

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So weit, so gut.
Sagt Dir der Satz von Euler-Lagrange was?
Bzw. wie weit fortgeschritten bist Du in der Theorie der Kettenbrüche ?

10.10.2011, 16:53

Steffen2361

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Nein, dieser Satz sagt mir spontan nichts (ich werde mich schlauch machen)

10.10.2011, 16:59

galoisseinbruder

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Der Satz bringt uns leider nicht direkt zum Ergebnis, ich hätte ihn nur als Motivation verwendet (um genauer zu sein eine Folgerung davon).
Worauf ich eigentlich raus will ist das die Kettenbruchdarstellung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ periodisch ist. Und wie gasagt es wäre gut zu wissen ob das jetzt der erste Kettenbruch ist den Du ausrechnest oder schon etwas Theorie dazu kennst (z.B. periodische Kettenbrüche)

10.10.2011, 17:27

steffen2361

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In diese richtung ist er der erste....

mfg

10.10.2011, 17:31

galoisseinbruder

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Also bis jetzt nur rationale Zahlen als Kettenbruch geschrieben?
Mit meinem Hinweis das der gesuchte Kettenbruch periodisch ist, was würdest Du vermuten wie er aussieht?

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10.10.2011, 17:34

Steffen2361

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jep nur rationale und reele Zahlen als Kettenbruch geschrieben

ja ein periodischer wäre z.B phi aber wie das genau geht weiß ich leider nicht

mfg

10.10.2011, 17:38

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ ist reell. verwirrt

verwirrt

Vielleicht musst Du noch ein paar Werte ausrechnen um die Periode in der darstellung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ zu sehen.

10.10.2011, 17:44

Meier

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nein ich meint, dass ich bis jetzt nur rationale Kettenbrüche berechnet habe und reele Zahlen als Kettenbruck dargestellt habe.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = 2,44948... \end{eqnarray*}$

die kann ich ja anschreiben als

Sei ± = [ a0, a1, a2, ... ] := a0 + 1 / ( a1 + 1 / ( a2 + .... )) a aus R

mfg
Nur das kann ja nicht stimmen oder

10.10.2011, 17:47

Steffen2361

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Original von Meier
nein ich meint, dass ich bis jetzt nur rationale Kettenbrüche berechnet habe und reele Zahlen als Kettenbruck dargestellt habe.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = 2,44948... \end{eqnarray*}$

die kann ich ja anschreiben als

Sei a = [ a0, a1, a2, ... ] := a0 + 1 / ( a1 + 1 / ( a2 + .... )) a aus R

mfg
Nur das kann ja nicht stimmen oder

10.10.2011, 17:56

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Meier
nein ich meint, dass ich bis jetzt nur rationale Kettenbrüche berechnet habe und reele Zahlen als Kettenbruck dargestellt habe.

Das ist doch genau das was wir hier tun wollen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ als Kettenbruch darstellen. Und das heißt für mich alle $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ der Kettenbruchdarstellung anzugeben. Und wie gesagt: Die Darstellung ist periodisch, sprich $\begin{eqnarray*} \sqrt{6}=[a_0,\overline{a_1,\ldots , a_n}] \end{eqnarray*}$ (ab einem gewissen Punkt wiederholen sich die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ) was man vermuten kann, wenn man (wie Du schon vollkommen richtig angefangen hast) den Kettenbruch-Algorithmus durchführt, um die ersten $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Ist es für Dich irgendetwas anderes?

P.S. Es heißt reell

10.10.2011, 18:06

Steffen2361

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Jop das hab ich gemacht smile

smile

$\begin{eqnarray*} \left[2,2,4,2,4,2....\right] \end{eqnarray*}$

Wie schreib ich dies nun als Kettenbruch auf?? verwirrt

verwirrt

10.10.2011, 18:10

galoisseinbruder

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Wie hast Du denn z.B. den Kettenbruch das goldenen Schnitts aufgeschrieben?

10.10.2011, 18:22

Steffen2361

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Nun ja eh schon wie ich es oben angegeben habe...

$\begin{eqnarray*} 2+\frac{1}{2+\frac{1}{4+\frac{1}{2+...} } } \end{eqnarray*}$

einfach immer den wert $\begin{eqnarray*} 2+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen und so weiter....

mfg
PS: Sorry für die Rechtschreibfehler, da ich vom Handy aus schreibe unglücklich

unglücklich

10.10.2011, 18:29

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Steffen2361
Jop das hab ich gemacht smile

smile

$\begin{eqnarray*} \left[2,2,4,2,4,2....\right] \end{eqnarray*}$

Wie schreib ich dies nun als Kettenbruch auf?? verwirrt

verwirrt

Das ist ein Kettenbruch. Das ist die verkürzte und deutlich besser lesbare Darstellung der iterierten Brüche.
Das was mich daran noch stört ist, dass so meines Erachtens die Periodizität nicht gut rauskommt, insbesondere was die Periode ist.
Außerdem müssen wir dann noch beweisen, dass die Darstellung auch wirklich stimmt

11.10.2011, 10:52

Steffen2361

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Ok, jetzt habe ich verstanden worauf Sie hinaus wollen.

nun gut bis jetzt haben wir, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = 2,44948... \end{eqnarray*}$

Somit ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{6}=[2,\overline{2, 4 }] \end{eqnarray*}$

Nun gut jetzt muss ich es noch beweißen

Also sei $\begin{eqnarray*} x =[2,\overline{2, 4 }] \end{eqnarray*}$

Dann betrachten wir $\begin{eqnarray*} y = x-2 \end{eqnarray*}$ . Das heißt $\begin{eqnarray*} y =[\overline{2, 4 }] \end{eqnarray*}$

oder umgeformt

$\begin{eqnarray*} y= \frac{1}{2+\frac{1}{4+y } } = \frac{4+y}{9+y} \end{eqnarray*}$

und nun erweitern mit (9+y) auf beiden seiten ergibt

$\begin{eqnarray*} y(9+y) = 4+y \Rightarrow y^{2} +8 y =4 \end{eqnarray*}$

Dies nun erweitert mit (+2) auf beiden seiten (plus Wurzel ziehen)

$\begin{eqnarray*} y^{2} +8 y +2 =6 \Rightarrow y +2 = \pm \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Und da y größer 0 sein muss

ergibt dies $\begin{eqnarray*} y +2 = \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Dies nun eingefügt in meine erste GLeichung ergibt

$\begin{eqnarray*} y = x-2 \Rightarrow x= y + 2 \Rightarrow x= \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?? verwirrt

verwirrt

mfg

11.10.2011, 11:08

galoisseinbruder

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So habe ich mir das vorgestellt.
Bis auf Rechen-(oder Tipp-)Fehler ist das korrekt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{1}{2+\frac{1}{4+y } } = \frac{4+y}{9+y} \end{eqnarray*}$

muss $\begin{eqnarray*} \frac{4+y}{9+2y} \end{eqnarray*}$ heißen, damit erhalten wir
$\begin{eqnarray*} 2y^2+8y=4 \end{eqnarray*}$ , und daraus ergibt sich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y +2 = \pm \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Aus

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y^{2} +8 y +2 =6 \end{eqnarray*}$

folgt das nämlich nicht.

11.10.2011, 11:29

Steffen2361

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ach verdammt, dass war also der Rechenfehler womit ich Stunden verbracht habe smile

smile

Somit ist nun alles gezeigt oder?

mfg

11.10.2011, 11:32

galoisseinbruder

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Ja, damit haben wir gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} [2,\overline{2, 4 }] \end{eqnarray*}$ die Kettenbruchdarstellung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ ist.

11.10.2011, 11:46

Steffen2361

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Pefekt danke dir smile

smile

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