zahl mit spezieller eigenschaft

10.10.2011, 17:30	miristlangweilig	Auf diesen Beitrag antworten »
zahl mit spezieller eigenschaft finde eine zahl n mit folgender eigenschaft: n=summe der fakultäten ihrer ziffern. also z.b. 432 hat diese eigenschaft nicht, denn: 432 ist nicht gleich 4!+3!+2! die eins und die zwei sind nicht gesucht.
10.10.2011, 17:45	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
145=1+24+120, dürfte sogar die kleinste nicht-triviale sein.
10.10.2011, 17:51	miristlangweilig	Auf diesen Beitrag antworten »
ging aber schnell, wie hast du so schnell eine zahl mit dieser eigenschaft gefunden?
10.10.2011, 18:02	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin so vorgegangen: Einstellige Zahlen: $\begin{eqnarray} n!<10 \Leftrightarrow n \leq 3 \end{eqnarray}$ , und das sind nur 1,2 Zweistellige Zahlen: $\begin{eqnarray} (ab)_{10} \end{eqnarray}$ erfüllts nur wenn $\begin{eqnarray} a,b \leq 4 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} 5!=120 \end{eqnarray}$ , alle Kandidaten tuns nicht. Dreistellige Zahlen: alle mit 5 am Ende (ab 105) ausprobieren.
10.10.2011, 18:05	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man vor der weitergehenden Frage steht, sogar alle diese Zahlen zu bestimmen, so kann man die Suche durch folgende Überlegung eingrenzen: Wenn die Zahl genau $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Stellen hat, so ist die Fakultätssumme maximal $\begin{eqnarray} m\cdot 9! \end{eqnarray}$ . Nun ist aber $\begin{eqnarray} 10^{m-1} > m\cdot 9! \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} m\geq 8 \end{eqnarray}$ , wie man z.B. durch vollständige Induktion rasch nachweisen kann. Damit lohnt sich die Suche nur bis zu maximal siebenstelligen Zahlen, was sich heutzutage sogar brachial per Bruteforce erledigen lässt.

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