Beweis Dreiecksungleichung mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung

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KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Dreiecksungleichung mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Ich sollte in einer Aufgabe die Dreiecksungleichung für die Euklidische Norm mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung beweisen, soweit gar kein Problem, ich habe nur an einer Stelle eine kleine Frage:

Die Cauchy-SchwarzUngleichung lautet ja
|<a,b>|<=||a||*||b||

Die Dreiecksungleichung kann ich ja durch Quadrieren auf folgende Form bringen:

||a+b||²<=(||a||+||b||)²

nun kann ich ja die linke Seite wie folgt umformen, von der dritten auf die vierte Zeile mit Cauchy-S.:

||a+b||²=<a+b,a+b>
=<a,a>+<a,b>+<b,a>+<b,b>
=||a||²+2|<a,b>|+||b||²
<=||a||²+2||a|| ||b||+||b||²
= (||a||+||b||)²

Jetzt habe ich nur folgende Frage: Damit ich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung anwenden kann, müssen die rot markierten Betragsstriche in Zeile drei vorhanden sein, ich weiß, dass sie da sein müssen, weil ich sie ja sonst nicht anwenden kann, habe aber nicht ganz verstanden, warum es legitim ist, diese hinzuschreiben? Könnte mir das bitte jemand kurz erklären?
a und b seien übrigens Element von R^n.


EDIT: Habe gerade in einem Lehrbuch nachgeschaut, da steht der Beweis auch mehr oder weniger genauso drin, auch mit den Betragsstrichen, ich bin mir aber noch immer nicht sicher, warum diese legitim sind?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ist und sowohl als auch gilt, dann kann man die beide Ungleichungen zur Ungleichung zusammenfassen. Gilt umgekehrt , so auch und

Die roten Betragsstriche sind nur legitim, wenn zuvor kleinergleich statt gleich steht.
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Dreiecksungleichung mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Zitat:
Original von KnowingLizard
||a+b||²=<a+b,a+b>
=<a,a>+<a,b>+<b,a>+<b,b>
<=||a||²+2|<a,b>|+||b||²
<=||a||²+2||a|| ||b||+||b||²
= (||a||+||b||)²


Das ist der Knackpunkt Augenzwinkern

edit: Leopold übernimmt.
KnowingLizard Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank euch beiden, eigentlich recht offensichtlich smile
In besagtem Lehrbuch steht es sogar ohne kleiner gleich und mit gleich, wurde dann wohl geschlampt...
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