Lineare Abhängigkeit mit nicht unendlich vielen Lösungen

11.10.2011, 02:46

Steini

Lineare Abhängigkeit mit nicht unendlich vielen Lösungen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

per Definition ist lineare Abhängigkeit gegeben, sobald bei der Linearkombination der betreffenden Vektoren zur Nullvektorbildung neben der trivialen Lösung mindestens noch eine weitere Lösung existiert.
In den Fällen, die ich bisher untersucht habe, gab es ,für mich auch logisch nachvollziehbar, immer eine unendliche Lösungsmenge (einparametrig).

Gibt es denn überhaupt Fälle, in denen z.B. nur eine weitere Lsg. existiert oder überhaupt nur eine endliche Menge??

Nebenbei noch eine weitere Frage:
Bei der Überprüfung der Komplanarität dreier Vektoren prüft man sie auf lineare Abhängigkeit. Diese kann doch aber in zwei Fällen gegeben sein:
1. Die Vektoren sind normal komplanar und 2. Die Vektoren sind zusätzlich sogar kollinear.
Ich hab mal experimentiert und bei drei kollinearen Vektoren im R³ entsteht eine zweiparametrige unendliche Lösungsmenge (ebenfalls einleuchtend).
Kann man also allgemein sagen, dass bspw. drei Vektoren bei einparametriger Lösungsmenge komplanar und bei zweiparametriger sogar kollinear sind. Und analog dazu für vier Vektoren, dass bei einparametriger Lsg. alle in einem R³ liegen (so wie Komplanarität alle Vektoren auf einer Ebene/Fläche liegen) und bei zweiparametriger Lsg. alle vier komplanar sind und bei dreiparametriger Lsg. alle kollinear sind?
Mathematisch macht das Sinn oder?

Meine Ideen:
siehe oben

11.10.2011, 04:09

ollie3

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RE: Lineare Abhängigkeit mit nicht unendlich vielen Lösungen
hallo steini,
hast dir ja tolle gedanken gemacht.
Zu deiner ersten frage: nein, die lösungsmenge muss immer unendlich sein, also
mindestens 1-dimensional.
Zu 2: es ist alles richtig, im R^4 wären dann die lösungsmengen entweder ein
3-dimensionaler unterraum, eine 2-dimesionale ebene, oder lägen auf einer
1-dimensionalen geraden.
gruss ollie3 Wink

11.10.2011, 06:45

Cordovan

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Ich würde antworten: ja und nein. Ja, die Lösungsmenge ist (mindestens!) einparametrig, denn wenn die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a\cdot v+b\cdot w=0 \end{eqnarray*}$

mit nichtverschwindenden Koeffizienten a und b erfüllt ist, dann auch

$\begin{eqnarray*} \lambda a\cdot v+\lambda b\cdot w=0 \end{eqnarray*}$

für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ .

Unendlich muss die Lösungsmenge aber nicht sein: denke an einen endlichen Körper wie zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ . Da gibt es sowieso nur endlich viele Vektoren, von denen eine endliche Auswahl die geforderte Gleichung erfüllt.

Cordovan

11.10.2011, 16:38

Steini

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Hi nochmal,

danke für die Antworten. Freude

Ich hab da noch ein paar Nachfragen:

Und zwar erstens: Für welchen Zahlkörper steht das $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Unendlich muss die Lösungsmenge aber nicht sein: denke an einen endlichen Körper wie zum Beispiel . Da gibt es sowieso nur endlich viele Vektoren, von denen eine endliche Auswahl die geforderte Gleichung erfüllt.

Mit endlichen Körpern habe ich bisher leider noch keine Bekanntschaft gemacht.
Heißt das, ich hab zum Beispiel drei abhängige Vektoren, aber kann die Koeffizienten nicht beliebig vervielfachen?
Mir kommt gerade der Verdacht, dass das $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ für den Körper über dem der Vektorraum existiert steht.. richtig vermutet? verwirrt

Noch eine Frage smile

: Wie ist es gemeint, wenn man sagt, dass die Lösung eindimensional ist bzw. mindestens eindimensional. Ich hab die Bezeichnung in dem Zusammenhang noch nie gehört.

Zitat:

Zu 2: es ist alles richtig, im R^4 wären dann die lösungsmengen entweder ein
3-dimensionaler unterraum, eine 2-dimesionale ebene, oder lägen auf einer
1-dimensionalen geraden.

also du meinst, je nachdem wie viele Parameter ich frei wählen kann? Soweit ich herausgefunden habe, ist es egal ob R^2, R^3 oder R^4.. es kommt nur auf die Anzahl der Vektoren an: Habe ich drei komplanare Vektoren, dann kann ich einen Parameter wählen, habe ich 4 komplanare Vektoren (egal ob im R^3 oder R^4) dann bekomme ich zwei Parameter. Es ist ja egal, wie viele Koordinaten ich auch hinzufüge, es ändert sich ja nichts daran, dass sie immer noch in einer Ebene liegen, also "kürzen" sich die weiteren Dimensionen sowieso heraus (Nullzeilen)
Also: Bei 4 Vektoren und 1 Parameter: alle liegen in einem 3-dimensionalen Unterraum;
4 Vektoren und 2 Parameter: alle liegen auf einer Ebene (komplanar)
4 vektoren und 3 Parameter: alle auf einer Geraden (kollinear)

so hast du es wahrscheinlich gemeint oder?

Zum Abschluss noch eine Frage zur Definition:
"Drei Vektoren heißen komplanar, wenn sie auf einer Ebene liegen" (Zitat Mathebuch)
Was ist mit 4 Vektoren in einer Ebene? Die sind doch auch komplanar oder sagt man das dann nicht mehr? Es ist ja nur ein Sonderfall der linearen Abhängigkeit.
Ebenso "2 Vektoren heißen kollinear, wenn sie (anti)parallel verlaufen. Bei 3 parallelen Vektoren kann man doch immer noch sagen, sie sind kollinear oder??

Grüße Steini

12.10.2011, 07:39

Cordovan

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Zitat:

Und zwar erstens: Für welchen Zahlkörper steht das $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ?

Für einen beliebigen.

Zitat:

Ja, genau. Wenn wir zum Beispiel einen Körper mit 5 Elementen haben, dann gibt es nur 5 Skalare. Dementsprechend kann es auch nur endlich viele (höchstens 5) Lösungen für die Gleichung geben. Ich will dich aber nicht verwirren, wenn ihr in der Vorlesung bisher als Körper nur die reellen Zahlen behandelt habt. Ansonsten kannst du auch ein Beispiel haben, wenn du willst.

Zitat:

Noch eine Frage smile

: Wie ist es gemeint, wenn man sagt, dass die Lösung eindimensional ist bzw. mindestens eindimensional. Ich hab die Bezeichnung in dem Zusammenhang noch nie gehört.

Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist ein Untervektorraum des Bildvektorraums - und der hat eine Dimension. Um die geht es. Wenn ich also nur an einem Parameter drehen darf, so dass die Gleichung erfüllt bleibt, ist der Raum eindimensional. Wenn ich zwei Parameter wählen kann, dann zweidimensional etc.

Zitat:

Zum Abschluss noch eine Frage zur Definition:
"Drei Vektoren heißen komplanar, wenn sie auf einer Ebene liegen" (Zitat Mathebuch)
Was ist mit 4 Vektoren in einer Ebene? Die sind doch auch komplanar oder sagt man das dann nicht mehr? Es ist ja nur ein Sonderfall der linearen Abhängigkeit.

Das Problem ist gelöst, wenn du sagst, "je drei Vektoren sind komplanar".

Gruß
Cordovan

13.10.2011, 20:15

Steini

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Hallo Cordovan,

danke für deine Antworten, jetzt weiß ich wieder etwas mehr.

Zitat:

Ich will dich aber nicht verwirren, wenn ihr in der Vorlesung bisher als Körper nur die reellen Zahlen behandelt habt.

Vorlesung ist gut, bin jetzt leider erstma in der Oberstufe, aber ich würde viel lieber schon studieren.. Big Laugh

Muss ich mir halt selbst so viel beibringen wie möglich.

Gruß Steini

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