Abstände zwischen benachbarten Punkten sollen gleich sein?!

01.01.2007, 19:14

sanny121289

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Abstände zwischen benachbarten Punkten sollen gleich sein?!

Hallo!
Sorry für den nicht so viel sagenden topic-titel, konnte es nur nicht besser in worte fassen =)

und zwar habe ich probleme mit der folgenden aufgabe:
der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4-4x^2+4 \end{eqnarray*}$ wird von einer Gerade y=k (0<k<4) geschnitten. Dabei entstehen 4 Schnittpunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert k, für den die Abstände zwischen 2 benachbarten Punkten gleich sind.

also bisher habe ich ersteinmal heraus, das die beiden nullstellen der funktion
wurzel 2 und - wurzel 2 sind..den abstand zwischen 2 punkten nenne ich t. also sind auf jeder seite des graphen 1,5t , da die funktion achsensymmetrisch ist.

jetz weiß ich aber nicht mehr weiter...kann mir vielleicht jemand einen denkanstoß bzw. tipp geben?

danke im voraus ,
sanny

01.01.2007, 19:38

tigerbine

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RE: Abstände zwischen benachbarten Punkten sollen gleich sein?!

Zunächst einmal solltest du den y-Bereich ermitteln, in dem es überhaupt 4 Schnittpunkte gibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dabei könnte helfen

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x^2)^2-2\cdot 2x^2 + 2^2= (x^2-2)^2~( \geq0) \end{eqnarray*}$

01.01.2007, 19:42

sanny121289

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es gibt nur im bereich 0<y<4 vier schnittpunkte.....aber das hilft mir auch noch nicht viel weiter, leider =(

01.01.2007, 19:43

Dual Space

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Zitat:

Original von sanny121289
es gibt nur im bereich 0<y<4 vier schnittpunkte.....aber das hilft mir auch noch nicht viel weiter, leider =(

Doch! Nun weißt du, das k aus (0,4) sein muss!

01.01.2007, 19:45

sanny121289

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das steht außerdem schon in der aufgabenstellung ! hab ich oben auch mit aufgeschrieben : 0<k<4

01.01.2007, 19:46

tigerbine

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Also, wir wissen (und hoffe Du hast es auch gezeig) dass wir k im Intervall [0,4] suchen müssen.

Was sind die Urbilder z.B. von 2? wie berechnest Du das?

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01.01.2007, 19:52

sanny121289

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ich hoffe mal du meinst mit Urbilder, wie ich die aufgabe für verschiedene beispiele für k berechnen würde.
für k=2 würde ich die beiden funktionen gleichsetzen und nach x umstellen. die differenz aus den ergebnissen betragen ja dann die abstände zwischen den punkten, bloß weiß ich nicht , wie ich da nun das k hineinbekommen soll, also als variable meine ich.

01.01.2007, 19:57

tigerbine

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Ich meinte damit, wie man zu gegeben k die x-WErte findet, für die gilt:

f(x) = k Dafür soll es 4 Lösungen geben.

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = f(x_4) = k,~ x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \end{eqnarray*}$

Des weiteren soll gelten:

$\begin{eqnarray*} x_2-x_1 = x_3-x_2 = x_4 - x_3 \end{eqnarray*}$

Wie sehen jetzt $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3,x_4 \end{eqnarray*}$ aus?

01.01.2007, 20:02

Musti

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Hab ne frage!

Braucht man für diese Aufgabe nicht die Formel für den Abstand zwischen 2 Punkten?

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(y_2-y_1)^2-(x_2-x_1)^2} \end{eqnarray*}$

Edit: Und die müsste man dann ggf. gleichsetzen mit den anderen 2 Schnittpunkten.

Also ich würde die Aufgabe so lösen nur ob sie richtig ist weiß ich nicht deswegen würde ich erstmal auf andere Antworten warten bevor du was mit dem Tipp anfangen kannst.

01.01.2007, 20:03

sanny121289

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ich glaub ich bin zu dumm xD

ich versteh grad gar nicht was du von mir willst.........sorry =(
naja. die vier punkte liegen eben hintereinander aufgereiht auf der gerade k... menno xD

01.01.2007, 20:06

tigerbine

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@ Musti: Ja und nein. Da die Punkte den gleichen y-WErt haben, folgt:

$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2} =\sqrt{(x_2-x_1)^2} \end{eqnarray*}$

Hast du da nicht + und - vertauscht?

01.01.2007, 20:07

tigerbine

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@ sanny: Gib mal den google Link zur Kegel Aufgabe. Nicht das ich hier wieder umsonst (ver)rechne Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.01.2007, 20:07

RS

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Na die Stellen auf k haben doch die Werte -3x, -x, x, und 3x oder?

PS @ Sanny: Ich bin grad mit Florian in Kontakt, der schickt mir die Lösung!

01.01.2007, 20:08

Musti

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Ja hab + und - vertauscht!

Und das mit y stimmt auch aber sonst geht es oder?

01.01.2007, 20:10

sanny121289

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ja, soweit bin ich auch schon robin, trotzdem danke =)
achso, hier ist der link...muss man sich aber erstmal durchfitzen, ist ein bissel kompliziert:
http://www.drogen-forum.com/forum/archiv...hp/t-45170.html

01.01.2007, 20:13

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} k = (x^2-2)^2 \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung:

$\begin{eqnarray*} \text{1. } \sqrt{k} = (x^2-2) \Leftrightarrow x^2 = 2 + \sqrt{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{1a) } x_4 = \sqrt{2 + \sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{1b) } x_1 = -\sqrt{2 + \sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2. } \sqrt{k} = -(x^2-2) \Leftrightarrow x^2 = 2 - \sqrt{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2a) } x_3 = \sqrt{2 - \sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2a) } x_2 = - \sqrt{2 - \sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

Abstände:

$\begin{eqnarray*} x_2-x_1 = x_3-x_2 = x_4-x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = -x_4 \text{ und } x_2 = -x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2 - x_1 = x_4 - x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3 - x_2 = x_3 + x_3 \end{eqnarray*}$

Es reicht also zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} 2x_3 = x_4-x_3 \Leftrightarrow 3x_3 = x_4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3\sqrt{2 - \sqrt{k}} = \sqrt{2 + \sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9(2-\sqrt{k}) = 2 + \sqrt{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16 = 10\sqrt{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1.6 = \sqrt{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 2.56 \end{eqnarray*}$

01.01.2007, 20:16

sanny121289

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OMG sieht das kompliziert aus O.o
hab fallunterscheidungen bisher noch nicht im unterricht gehabtxD

01.01.2007, 20:18

RS

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Ist es aber nicht, ist einfach nur das du beim Wurzel ziehen sowohl ne positive als auch ne negative (des Betrages wegen) Lösung herausbekommst!

01.01.2007, 20:20

tigerbine

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So sieht es aus! Freude

Freude

Hab ihr die Volumen berechnung im anderen Thread verstanden?

01.01.2007, 20:20

sanny121289

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okay, das ergibt schon eher nen sinn..aber kann man zu ner lösung nicht auf nem halbwegs einfachen weg kommen?

01.01.2007, 20:21

RS

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@ Tigerbine: Nicht wirklich! verwirrt

verwirrt

Aber ich versuche es Hammer

Hammer

!

01.01.2007, 20:23

RS

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Also zu dieser Aufgabe hier hab ich einen anderen (viellecith auch gleichen??) Ansatz.

Damit die Abstände gleich groß sind muss z.B der Funktionswert von x1 gleich dem von x2 sein. Also z.B. f(x)=f(3x).

Jetzt ordentlich einsetzen und man kommt zu einem Ergebnis!

01.01.2007, 20:26

sanny121289

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ja, die volumenberechnung hatte ich ganz gut verstanden....
um auf das problem mit den abständen zu kommen.
habe herausgefunden, dass der abstand vom vierten punkt zur y-achse 2 ist..kann aber glaube ich nicht stimmen-.-

@robin ja, das kann stimmen...rechne ich gleich mal durch smile

smile

01.01.2007, 20:28

RS

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Mach mal das wie ichs geschrieben habe...

Dort kommt ne Gleichung vierten Grades raus. Ausklammern, dann entfallen laut Definitonsbereich Lösungen und dann kommt eine ordentliche raus! EDIT:// Die dann noch eingesetzt in die ursprüngliche Gleichung um y bzw. k herauszubekommen! Habs grafisch nachgeprüft, müsste stimmen!

01.01.2007, 20:35

sanny121289

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auf was kommst du da? meine lösung kann nicht stimmen !!

01.01.2007, 20:44

tigerbine

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Siehe edit

01.01.2007, 20:44

riwe

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das 1. bild im neuen jahr
zur info: $\begin{eqnarray*} k = (\frac{8}{5})^{2} \end{eqnarray*}$ oder so verwirrt

verwirrt

werner

01.01.2007, 20:45

RS

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$\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{\frac{2}{5}} \end{eqnarray*}$ , dann noch einsetzen um f( $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{\frac{2}{5}} \end{eqnarray*}$ )=k herauszubekommen.

01.01.2007, 20:50

sanny121289

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ja bin auch auf 2,56 gekommen =) freeude !!
danke für eure hilfe =) Gott

Gott

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