Doppelintegral

11.10.2011, 16:48

ChronoTrigger

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Doppelintegral

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben durch
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{cases} (x-y-1)^2+(x+y-1)^2-1 & falls(x-y-1)^2+(x+y-1)^2 \leq 1 \\ 0 & sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} f \in C_c(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ und berechnen Sie das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^2} \! f(x,y) \, dxdy \end{eqnarray*}$

Bisher habe ich mir folgendes überlegt:

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \in C_c(\mathbb R^2) \end{eqnarray*}$ ist, muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} supp(f) \end{eqnarray*}$ kompakt ist, wobei $\begin{eqnarray*} supp(f)=\overline{\{x \in \mathbb R^2 | f(x) \neq 0 \}} \end{eqnarray*}$ ist.

f ist stetig außerhalb des Ursprungs als Verkettung stetiger Funktionen.

Um die Stetigkeit im Ursprung zu zeigen, wollte ich jetzt mit dem Folgenkriterium arbeiten, allerdings bringt mich das nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=(\frac{2}{n}-1)^2 = \frac{4}{n^2} - \frac{4}{n} +1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^2} - \frac{4}{n} +1 = 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

hier weiß ich deshalb momentan nicht weiter.

Zum Träger hatte ich mir bisher folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} supp(f)=\overline{\{(x,y) \in \mathbb R^2 | f(x,y) \neq 0 \} } = \overline{\{(x,y) \in \mathbb R^2 | (x-y-1)^2+(x+y-1)^2 \leq 1 \}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{(x,y) \in \mathbb R^2 | (x-y-1)^2+(x+y-1)^2 = 1 \} \end{eqnarray*}$

Das wäre nun aber der Rand eines Kreines, und als solcher kompakt.

Zum Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^2} \! f(x,y) \, dxdy =\int \! \, \int_{supp(f)} \! f(x,y) \, dxdy \end{eqnarray*}$

hier ist mir allerdings noch nicht klar, wie ich die Grenzen wählen muss.

Könnte mir jemand weiterhelfen?

danke schonmal im voraus.

11.10.2011, 20:18

Wetal

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würde es dir helfen, wenn ich dir sage, dass die menge über die du integrierst auch so geschrieben werden kann?

$\begin{eqnarray*} K:= \{(x,y) \in \mathbb R^2 : (x-1)^2 + y^2 \leq \frac{1}{2} \} \end{eqnarray*}$

versuch das mal zu zeigen. dann sollte dir aber klar sein, wie man über diese menge integrieren kann

\edit: sehe gerade, dass du bereits selbst erkannt hast dass es sich um einen kreis handelt. fällt dir dann eine passende transformation ein, um darüber zu integrieren? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.10.2011, 21:15

ChronoTrigger

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danke für den tipp!

dann versuche ich mal, das zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} (x-y-1)^2+(x+y-1)^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2x^2-4x+2y^2+2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2x^2-4x+2y^2 \leq -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x^2-2x+y^2 \leq -\frac12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-1)^2-1+y^2 \leq -\frac12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-1)^2+y^2 \leq \frac12 \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt noch nicht ganz sicher, wie ich hier über die Menge integrieren kann.

Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} u:=x-1 \end{eqnarray*}$ setze, dann würde ich so integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\frac12}^{\frac12} \! \, \int_{-\sqrt{\frac12 -y^2}} ^{\sqrt{\frac12 -y^2}} \! (u-y)^2+(u+y)^2-1 \, dudy \end{eqnarray*}$

allerdings sieht das nicht sehr erfolgsversprechend aus

11.10.2011, 21:27

Wetal

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Versuchs mal mit polarkoordinaten. Da sollte sich vieles vereinfachen.

12.10.2011, 12:22

ChronoTrigger

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dann versuch ich das mal mit polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} x=rcos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=rsin(\phi) \end{eqnarray*}$

Wenn ich wieder $\begin{eqnarray*} u:=x-1 \end{eqnarray*}$ setze, und $\begin{eqnarray*} (u-y)^2+(u+y)^2-1=2u^2+2y^2-1 \end{eqnarray*}$ ist, dann erhalte ich jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^2} \! f(x,y) \, dxdy =\int \! \, \int \! 2u^2+2y^2-1 \, dudy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \! \, \int \! (2r^2cos^2(\phi)+2r^2sin^2(\phi)-1)\cdot r \, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \! \, \int \! 2r^3(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))-r \, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \! \, \int \! 2r^3-r \, drd\phi \end{eqnarray*}$

bei den Grenzen habe ich nun allerdings wieder das selbe Problem..

12.10.2011, 12:40

Wetal

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naja, dafür hab ich auch den tipp zuvor gegeben:

$\begin{eqnarray*} K:= \{(x,y) \in \mathbb R^2 : (x-1)^2 + y^2 \leq \frac{1}{2} \} \end{eqnarray*}$

es ist eine allgemeine kreisgleichung. nun musst du dir überlegen welchen breich der radius durchläuft und welchen bereich der winkel durchläuft.

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12.10.2011, 13:06

ChronoTrigger

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stimmt, da hatte ich nicht aufgepasst.

Dann müsste der Radius den Bereich $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac12} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac12} \end{eqnarray*}$ durchlaufen.

Der Winkel müsste dann den Bereich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ durchlaufen.

ist das korrekt?

12.10.2011, 13:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Dann müsste der Radius den Bereich $\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac12} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac12} \end{eqnarray*}$ durchlaufen.

Nun ja, ein Radius kann nicht negativ sein.

EDIT: was mir noch auffiel:

Zitat:

Original von ChronoTrigger
dann versuch ich das mal mit polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} x=rcos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=rsin(\phi) \end{eqnarray*}$

Eigentlich substituierst du x=r cos(\phi) + 1.

12.10.2011, 13:57

ChronoTrigger

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danke.

Nur damit ich jetzt nicht noch etwas übersehe, muss ich dann also dieses Integral auflösen?

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! \, \int_0^{2\sqrt{\frac12}} \! (2(rcos(\phi)+1-1)^2+2(rsin(\phi))^2-1)r \, drd\phi \end{eqnarray*}$

12.10.2011, 14:04

klarsoweit

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Fast. Warum nimmst du für den Radius als obere Grenze $\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{\frac 1 2} \end{eqnarray*}$ ?

12.10.2011, 14:09

ChronoTrigger

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oh, das ist natürlich ein blöder Fehler.

da der Radius nicht negativ sein kann, hatte ich gedacht, dass ich über die doppelte Länge des Radius integrieren muss. das ist natürich blödsinn.

Es muss deshalb also von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac12} \end{eqnarray*}$ integriert werden.

dann mache ich mich mal an die arbeit!

12.10.2011, 18:54

ChronoTrigger

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so, ich habe nun folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! \, \int_0^{\sqrt{\frac12}} \! (2(rcos(\phi)+1-1)^2+2(rsin(\phi))^2-1)r \, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^{2\pi} \! \, \int_0^{\sqrt{\frac12}} \! (2r^2cos^2(\phi)+2r^2sin^2(\phi)-1)\cdot r \, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^{2\pi} \! \, \int_0^{\sqrt{\frac12}} \! 2r^3(cos^2(\phi)+sin^2(\phi))-r\, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^{2\pi} \! \, \int_0^{\sqrt{\frac12}} \! 2r^3-r\, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_0^{2\pi} \! \frac18 -\frac12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\, d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac14 \pi -\frac{1}{\sqrt{2}} \pi = -\frac14 \pi (2 \sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$

ist das korrekt?

12.10.2011, 19:08

Wetal

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ne, da ist aba was beim integrieren von $\begin{eqnarray*} 2r^3-r \end{eqnarray*}$ schief gelaufen. was ist denn die stammfunktion davon?

12.10.2011, 19:20

ChronoTrigger

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oh, die stammfunktion von $\begin{eqnarray*} 2r^3-r \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac24 r^4 -\frac12 r^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \frac12 r^4 - \frac12 r^2 \end{eqnarray*}$ .

demnach ist dann

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! \, \int_0^{\sqrt{\frac12}} \! 2r^3-r\, drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_0^{2\pi} \! \frac18 -\frac14 \, d\phi =-\int_0^{2\pi} \! \frac18 \, d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\frac14 \pi \end{eqnarray*}$

noch etwas anderes: Reicht hier das Argument, dass f eine Komposition stetiger Funktionen ist, um zu zeigen, dass f stetig ist?

12.10.2011, 21:36

Wetal

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
noch etwas anderes: Reicht hier das Argument, dass f eine Komposition stetiger Funktionen ist, um zu zeigen, dass f stetig ist?

außerhalb des kreises ist sie konstant 0, also stetig. auf dem inneren des kreises ist die funktion, wie du bereits erkannt hast, eine komposition aus stetigen funktionen also auch stetig. bleibt noch zu überprüfen, ob sie auf dem rand stetig ist.

by the way: wofür steht das kleine c unten in $\begin{eqnarray*} C_c \left( \mathbb R^2 \right) \end{eqnarray*}$ ? diese notation ist mir leider nicht geläufig.

12.10.2011, 21:50

ChronoTrigger

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Zitat:

by the way: wofür steht das kleine c unten in $\begin{eqnarray*} C_c \left( \mathbb R^2 \right) \end{eqnarray*}$ ? diese notation ist mir leider nicht geläufig.

das weiß ich leider auch (noch) nicht.

zum rand des kreises:

dort gilt $\begin{eqnarray*} (x-y-1)^2+(x+y-1)^2=1 \end{eqnarray*}$ und somit ist dort dann ebenfalls $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ , also auch stetig.

danke für die Geduld und Hilfe!

13.10.2011, 12:05

Wetal

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soll das vllt eine 0 und kein c sein? $\begin{eqnarray*} C_0\left( \mathbb R^2 \right) \end{eqnarray*}$ damit könnte ich was anfangen. das ist dann die menge stetiger funktionen, wobei ich das eher als $\begin{eqnarray*} C^0\left( \mathbb R^2 \right) \end{eqnarray*}$ kenne. andernfalls ist für $\begin{eqnarray*} f \in C\left( \mathbb R^2 \right):= C^1 \left( \mathbb R^2\right) \end{eqnarray*}$ die stetigkeit nicht ausreichend. das ist nämlich die menge stetig diffbarer funktionen.

13.10.2011, 15:24

ChronoTrigger

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In unserer Vorlesung wurde dies so definiert:

$\begin{eqnarray*} C_c(\mathbb R^n):=\{f \in C(\mathbb R^n) | supp(f) kompakt \} \end{eqnarray*}$

hier ist ein link dazu (Seite 5, etwa in der Mitte) - vielleicht etwas schwer zu erkennen.

was dieses c genau für eine Bedeutung hat, kann ich nicht sagen.

danke nochmals für die Hilfe!

13.10.2011, 16:52

Wetal

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in dem fall, müsste man zeigen, dass f stetig diffbar ist und nicht bloß stetig.

13.10.2011, 20:34

ev0ker

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^2} \! f(x,y) \, dxdy =\int \! \, \int \! 2u^2+2y^2-1 \, dudy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \! \, \int \! (2r^2cos^2(\phi)+2r^2sin^2(\phi)-1)\cdot r \, drd\phi \end{eqnarray*}$

Hi, wo kommt eigentlich das r in der zweiten Zeite vor dem $\begin{eqnarray*} dr d\phi \end{eqnarray*}$ her?

13.10.2011, 21:49

Wetal

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das ist die determinante der jacobimatrix von der transformationsfunktion beim wechsel zu polarkoordinaten im 2-dim.

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