vollständige induktion

12.10.2011, 09:44

xxmaxx

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vollständige induktion

Hi,

folgendes beispiel habe ich durch induktion zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{2} ...a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{2} }.... + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq n^{2} \end{eqnarray*}$

Vorraussetzung:

ist mir klar

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

So jetzt zum schritt den ich nicht ganz verstehe (falls er richtig ist):

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n)^{2} + a_{n+1}*(\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n} } ) + \frac{1}{a_{n+1} } * (a_{1} + a_{n} ) +1 \end{eqnarray*}$

müsste der schritt nicht lauten:

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n)^{2} + (a_{1}+a_{n+1} )*(\frac{1}{a_{1} }+\frac{1}{a_{n+1} } ) \end{eqnarray*}$

lg

12.10.2011, 10:21

klarsoweit

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von xxmaxx
Behauptung:

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Wo sind denn da die anderen Summanden geblieben? verwirrt

verwirrt

12.10.2011, 10:32

xxmaxx

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andere summanden?

heisst das der ansatz ist falsch?

12.10.2011, 10:56

klarsoweit

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RE: vollständige induktion
Was heißt hier Ansatz?

Du willst doch $\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{2} } + .... + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ mit Induktion beweisen.

Wie kommst du dann auf $\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$ ?

12.10.2011, 11:06

xxmaxx

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naja bei der behauptung wird ja n+1 gerechnet. oder hab ich da was falsch verstanden?:
wie wärs denn richtig?

12.10.2011, 11:15

René Gruber

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Zitat:

Original von xxmaxx
Behauptung:

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

So jetzt zum schritt den ich nicht ganz verstehe (falls er richtig ist):

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n)^{2} + a_{n+1}*(\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{n} } ) + \frac{1}{a_{n+1} } * (a_{1} + a_{n} ) +1 \end{eqnarray*}$

Es sieht so aus, als hättest du schlicht einige "Pünktchen" vergessen: So geschrieben

Zitat:

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + \ldots + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1}} + \ldots + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

So jetzt zum schritt den ich nicht ganz verstehe (falls er richtig ist):

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + \ldots + a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \ldots + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq (n)^{2} + a_{n+1}*(\frac{1}{a_{1} } + \ldots + \frac{1}{a_{n} } ) + \frac{1}{a_{n+1} } * (a_{1} + \ldots + a_{n} ) +1 \end{eqnarray*}$

macht das ganze nämlich wesentlich mehr Sinn. Hier wird einfach nur gemäß Distributivgesetz ausmultiplilziert, mehr nicht.

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12.10.2011, 11:36

xxmaxx

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Hier wird einfach nur gemäß Distributivgesetz ausmultiplilziert, mehr nicht.

hmm und genau das versteh ich nicht. was wird hier womit multipliziert?

12.10.2011, 12:10

klarsoweit

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RE: vollständige induktion

Zitat:

Original von xxmaxx
folgendes beispiel habe ich durch induktion zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{2} ...a_{n+1} ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{2} }.... + \frac{1}{a_{n+1} } ) \geq n^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das recht bedenke, müßte das vermutlich $\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{2} + ... + a_n ) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{2} } + .... + \frac{1}{a_n} ) \geq n^{2} \end{eqnarray*}$ lauten.

Vieles würde klarer, wenn man statt der Pünktchenschreibweise das üblicherweise verwendete Summensymbol benutzt:

Aus

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{2} ...a_n) * (\frac{1}{a_{1} } + \frac{1}{a_{2} }.... + \frac{1}{a_n} ) \geq n^{2} \end{eqnarray*}$

wird dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k \cdot \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} \geq n^2 \end{eqnarray*}$ .

Wende das auf die zu zeigende Aussage für n+1 an.

12.10.2011, 12:58

xxmaxx

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ok also :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} a_{k} * \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{a_{k}} \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

woraus sich ergibt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{n} a_{n} + a_{n + 1} * \sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{a_{n+1}} \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und dann einfach ausmultiplizieren.

stimmt das?

12.10.2011, 13:19

klarsoweit

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Setzen wir mal Klammern und achten auf die richtige Indizierung:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} + a_{n + 1}) \cdot (\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}} + \frac{1}{a_{n+1}}) \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und dann ausmultiplizieren.

12.10.2011, 14:06

xxmaxx

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ok dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} *\sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{a_{n} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * \frac{1}{a_{n+1} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * a_{n+1} ) + 1 \end{eqnarray*}$

wie ich dann auf :

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} (\frac{1}{a_{1} } +\frac{1}{a_{n} } ) + .... \end{eqnarray*}$

sehe ich noch nicht

12.10.2011, 14:20

klarsoweit

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Zitat:

Original von xxmaxx
wie ich dann auf :

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} (\frac{1}{a_{1} } +\frac{1}{a_{n} } ) + .... \end{eqnarray*}$

sehe ich noch nicht

Vergiß das doch einfach mal. Ich weiß auch beim besten Willen nicht, woher du das hast.

Erstmal stellen wir mal die Summen richtig. Du hast
1. wieder die falsche Indexierung genommen
2. eine Klammersetzung verwendet, die sehr mißverständlich ist
3. in der 3. Summe nicht die Kehrwerte genommen.

Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=1}^n a_{k} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_{k} } ) + \frac{1}{a_{n+1} } \cdot \sum\limits_{k=1}^n a_{k} + a_{n+1} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_k} + 1 \end{eqnarray*}$

12.10.2011, 14:35

xxmaxx

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hmm ja ok stimmt. trotzdem komm ich jz nich weiter.

nun das ganze + n^2 (wie im ersen post) oder?

dann soll der linke teil des indunktionsschrittes >= als der rechte sein?

12.10.2011, 14:43

klarsoweit

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Das Ziel des ganzen ist, daß wir zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=1}^n a_{k} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_{k} } ) + \frac{1}{a_{n+1} } \cdot \sum\limits_{k=1}^n a_{k} + a_{n+1} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_k} + 1 \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

ist.

Aufgrund der Induktionsvoraussetzung wissen wir, daß $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{k} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_{k} } \geq n^2 \end{eqnarray*}$ ist.

Schauen wir uns mal die beiden mittleren Summanden an. Da kann man noch etwas umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a_{n+1} } \cdot \sum\limits_{k=1}^n a_{k} + a_{n+1} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{a_{n+1}} + \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_{n+1}}{a_k} = \sum\limits_{k=1}^n (\frac{a_k}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+1}}{a_k}) \end{eqnarray*}$

Die eigentliche Restarbeit ist nun, daß du die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{a_k}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+1}}{a_k} \geq 2 \end{eqnarray*}$ beweisen mußt.

Übrigens braucht man als Voraussetzung, daß alle a_k >= 0 sind. das wurde bislang nirgends erwähnt.

12.10.2011, 15:07

René Gruber

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Zitat:

Original von klarsoweit
Übrigens braucht man als Voraussetzung, daß alle a_k >= 0 sind. das wurde bislang nirgends erwähnt.

Sogar $\begin{eqnarray*} a_k>0 \end{eqnarray*}$ wegen der Reziproken.

12.10.2011, 15:22

xxmaxx

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ok also unsere voraussetzung ist jetzt mal:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} *\sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{a_{n} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * \frac{1}{a_{n+1} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * a_{n+1} ) + 1 \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

der nächste punkt wäre dann der induktionsschritt:

im induktionsschritt wird doch die behauptung (in unserem fall n^2) mit der vorraussetzung
addiert oder? also:

n^2 + $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} *\sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{a_{n} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * \frac{1}{a_{n+1} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * a_{n+1} ) + 1 \end{eqnarray*}$

und nun ist zu zeigen dass gilt:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} *\sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{a_{n} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * \frac{1}{a_{n+1} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * a_{n+1} ) + 1 \geq n^2 + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} *\sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{a_{n} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * \frac{1}{a_{n+1} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * a_{n+1} ) + 1 \end{eqnarray*}$

oder? warum >= 2 versteh ich nicht

12.10.2011, 15:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von xxmaxx
ok also unsere voraussetzung ist jetzt mal:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} *\sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{a_{n} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * \frac{1}{a_{n+1} } ) + (\sum\limits_{n=1}^n a_{n} * a_{n+1} ) + 1 \geq (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

der nächste punkt wäre dann der induktionsschritt:

Da bist du im Irrtum. Wir sind schon die ganze Zeit im Induktionsschritt. Die Voraussetzung ist (und da schaust du bitte auch nochmal in der Aufgabe nach), daß

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n a_{k} \cdot \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{a_{k} } \geq n^2 \end{eqnarray*}$

ist.

PS: und wieder hast du eine falsche Indizierung verwendet. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von xxmaxx
warum >= 2 versteh ich nicht

Das wirst du sehen, wenn du es bewiesen hast.

12.10.2011, 15:39

xxmaxx

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achso hab mich verschrieben. hab nicht gemeint vorraussetzung sondern behauptung. na gut dann werd ich mal versuchen aus dem rest schlau zu werden. vielen dank erstmal :-)

13.10.2011, 20:26

xxmaxx

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Hi,

so eine frage hab ich noch dazu. wir haben jetzt den mittleren teil der summe umgeformt. für den muss ich zeigen das >= 2. aber was geschieht mit dem forderen teil ?

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