Frage zu Beweis Rechenregeln im Vektorraum

13.10.2011, 16:31

Eleanor

Frage zu Beweis Rechenregeln im Vektorraum

Hallo,

in meinem Studium habe ich jetzt mit dem Thema Vektorräumen angefangen.
Es ist nicht das Problem, das ich etwas grundsätzlich nicht verstehe, sondern einer der Beweise irritiert mich.

Sei V ein $\begin{eqnarray*} ~\mathbb K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum

0v=0 für alle v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V

Soweit natürlich klar - 0 mal irgend was ist 0

Jetzt der Beweis:

0v = (0 + 0)v denn 0 + 0 = 0 in $\begin{eqnarray*} ~\mathbb K \end{eqnarray*}$
= 0v + 0v mit dem zweiten Distributivgesetz
Wir addieren nun auf beiden Seiten das zu 0v inverse Element in V
0v - 0v = 0v + 0v - 0v
0 = 0v

Ich bin mir jetzt nicht sicher, aber mir kommt das so sagenhaft umständlich vor. Vor allem, da ja schon bei den Regeln zu Skalarmultiplikation bei Vektoren stand:

Wenn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ End punkt des Vektors u ist, ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ra\\rb \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Endpunkt des Vektors ru

Ich bin daher völlig verwirrt, wieso aus 0v überhaupt (0 + 0) v gemacht wird, wieso muss man das in zwei Nuller aufteilen?
Und warum am Ende noch der Punkt mit dem inversen Element?

Reicht es nicht einfach, zu schreiben:

0v = 0 * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0a\\0b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.10.2011, 16:35

Pascal95

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Ich glaube, du hast hier ein spezielles Beispiel herangeführt.

Der Bewies, so wie er da steht, ist doch sehr kurz und anschaulich Augenzwinkern

13.10.2011, 16:54

Pustefix91

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RE: Frage zu Beweis Rechenregeln im Vektorraum
Herzlich Willkommen in der strengen Mathematik Augenzwinkern

Zitat:

Original von Eleanor
Hallo,

in meinem Studium habe ich jetzt mit dem Thema Vektorräumen angefangen.
Es ist nicht das Problem, das ich etwas grundsätzlich nicht verstehe, sondern einer der Beweise irritiert mich.

Sei V ein $\begin{eqnarray*} ~\mathbb K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum

0v=0 für alle v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ V

Soweit natürlich klar - 0 mal irgend was ist 0

So klar ist das nun auch wieder nicht. Es handelt sich hier um eine Skalarmultiplikation. 0 ist hier ein Element aus dem Körper K und v ein Element aus V.

Zitat:

Jetzt der Beweis:

0v = (0 + 0)v denn 0 + 0 = 0 in $\begin{eqnarray*} ~\mathbb K \end{eqnarray*}$
= 0v + 0v mit dem zweiten Distributivgesetz
Wir addieren nun auf beiden Seiten das zu 0v inverse Element in V
0v - 0v = 0v + 0v - 0v
0 = 0v

Ich bin daher völlig verwirrt, wieso aus 0v überhaupt (0 + 0) v gemacht wird, wieso muss man das in zwei Nuller aufteilen?
Und warum am Ende noch der Punkt mit dem inversen Element?

Na ja, hier wurden ganz genau nach den Axiomen eines Vektorraumes bewiesen. Für einen Vektorraum gilt $\begin{eqnarray*} (\lambda + \delta)*x =\lambda*x+\delta*x \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda, \delta \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ gilt.
In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} x = v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = \delta = 0 \end{eqnarray*}$ . Da nun (V,+) eine abelsche Gruppe sein muss (siehe Axiome für Vektorraum), darf man die Kürzungsregel anwenden. Du siehst hier wurden ganz streng die Axiome des Vektorraumes befolgt. In der Schule ist es "klar" das Null mal irgendwas Null ergibt. Das ist im Studium nicht mehr der Fall.

14.10.2011, 22:54

Eleanor

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Das kommt mal wieder davon, wenn man zu schnell durch die Seiten huscht - das erste Axiom bei Vektorräumen hatte ich glatt überlesen, Ähem, *räusper* *hust*

Danke smile

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