Vollständige Induktion. Problem mit Fakultät

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lukori Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion. Problem mit Fakultät
Hallo,

bin bei folgendem Schritt:

Zu zeigen:

Die Summe von 1/k! mit dem min k=0 und dem max n+1 ist kleiner gleich 3-1/(n+1)

Die linke Seite habe ich umgeformt bis ich folgendes habe:
3-1/n+1/((n+1)n!)

Ich habe allerdings keine Ahnung wie ich das weiter umformen kann, damit ich die rechte Seite bekomme.

Vielen Dank für eure Hilfe!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion. Problem mit Fakultät
Wenn ich das richtig entziffere stehst Du also (im Induktionsschritt) bei:

.

Ja?


Ich sehe nicht, wie Du oben auf das im Nenner kommst.
 
 
lukori Auf diesen Beitrag antworten »

ja du hast Recht, hab mich vertan.

Komme aber trotzdem nicht weiter leider unglücklich
Bin jetzt genau bei dem Schritt den du geschrieben hast.
lukori Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir steht jetzt folgendes:



Ist das erstmal so richtig ? Ich schaffe es aber nicht von diesem Ausdruck auf diesen hier zu kommen:

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe es gerade auch nicht.

Ich würde erstmal den Hauptnenner der beiden Brüche bestimmen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein doofer Fehler von mir/ uns!

Bei dem Schritt muss man alle n durch n+1 ersetzen.


Das bedeutet, Du musst zeigen (unter der Annahme, die Behauptung sei für n bereits gezeigt):




Sorry nochmal, aber so ist's nun einfach.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt auch .

Der Induktionsanfang ist schnell gemacht.

Fernerhin haben wir ja bereits:

.

Was bleibt ist also zu zeigen, dass gilt:

, was sicherlich gilt, da gilt .

Ich frage mich auch, warum tatsächlich bis n+1 aufsummiert wird in der Aufgabenstellung.....
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich bei meiner "Version" bleibe, also stumpf dort n+1 einsetze, wo vorher n stand, so kommt man auf:



Dies kann man nach oben abschätzen, indem man

nach unten abschätzt, sprich

zeigt.


In Worten: Das, was man von 3 abzieht, wird nach unten abgeschätzt.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch nicht gesagt, dass man das nicht könnte, ich frage mich halt nur, ob die Aufgabenstellung tatsächlich richtig wiedergegeben wurde, da ich in einem anderen Thread die gleiche Aufgabe hatte, aber halt nur bis n aufsummiert.

Und wie gesagt, die Abschätzung ist dann auch nicht wirklich schwer da gilt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist die Variante, bei der bis n aufsummiert wird, auch "lieber" und ich denke auch, daß die ursprüngliche Aufgabenstellung so ist.
XStorm2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Mir ist die Variante, bei der bis n aufsummiert wird, auch "lieber" und ich denke auch, daß die ursprüngliche Aufgabenstellung so ist.


Heyho smile
habe dieselbe Aufgabe und es wird nur bis n aufsummiert. Mein Kommilitone scheint sich da verschrieben zu haben smile
XStorm2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Igrizu
.


Ich glaube, dass du dich hier vertan hast weil von k=0 aufsummiert.
Also:


lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, so ist es, hab mich verschrieben, stimmt aber auch, wenn man von k=1 beginnt aufzusummieren.
XStorm2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizuWas bleibt ist also zu zeigen, dass gilt:

, was sicherlich gilt, da gilt .


Könntest du mir erklären, wie du darauf kommst?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne einfach mal nen bissel rum du weißt doch, wo es hinführen soll.
XStorm2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XStorm2
Zitat:
Original von lgrizuWas bleibt ist also zu zeigen, dass gilt:

, was sicherlich gilt, da gilt .


Könntest du mir erklären, wie du darauf kommst?


Danke für die ausführliche Anleitung.
Ich wollte aber eigentlich wissen, wie du auf



kommst.

Mache das zum ersten Mal... muss ich irgendwelche Regeln bei der Induktion beachten??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte meinen Beitrag editiert, weil es doch zu nah an eine Teillösung ist, also hier das ganze noch mal, da es ja nun etwas zu spät war:


, das ist ja klar, oder?

Also ist











Und eben genau diese Abschätzung liefert uns das gewünschte.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XStorm2
Ich wollte aber eigentlich wissen, wie du auf





Die linke Ungleichungsseite gilt wegen der Induktionsvoraussetzung.
Die rechte Seite muss am Ende gelten; diese Ungleichung ist ja gerade die Behauptung für n+1..
XStorm2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du hast meine Frage nicht richtig verstanden smile

ich wollte gerne wissen wie du von

Zitat:
Original von lgrizu
Fernerhin haben wir ja bereits:

.


auf

Zitat:
Original von lgrizu


kommst.

Einfach durch Umformung?

Vielleicht bin ich auch einfach zu verwirrt Big Laugh
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du liest meine Beiträge aber schon oder?

Ich frage mich nämlich ernsthaft, ob du die Frage nach meiner ausführlichen Erklärung ernst meinst.

Es ist, wie eben gezeigt , und genau das ist zu zeigen gewesen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt:

Das erste gilt aufgrund der Induktionsvoraussetzung, das zweite ist zunächst eine Behauptung (die gelten muss, sofern die Behauptung eben auch für den Induktionsschritt gilt).

Diese Behauptung wird dann bewiesen (s. Igrizus ausführliche Erklärung).
XStorm2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu

.


In diesem Schritt wird also für



die

eingesetzt, weil es ja so in der Induktionsvorraussetzung steht.

Dementsprechend muss



sein, da k! für n+1 Durchläufe keiner sein muss als nur für n.

Habe ich das jetzt so richtig verstanden??
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von XStorm2
Zitat:
Original von lgrizu

.


In diesem Schritt wird also für



die

eingesetzt, weil es ja so in der Induktionsvorraussetzung steht.


Wir nehmen an, dass dies gilt, und möchten zeigen, dass, wenn es für eine Zahl n gilt, die Aussage auch für den Nachfolger n+1 wahr ist.

Zitat:
Original von XStorm2
Dementsprechend muss



sein, da k! für n+1 Durchläufe keiner sein muss als nur für n.

Habe ich das jetzt so richtig verstanden??


Das verstehe ich nicht. Die Aussage ist . Wir nehmen nun an, die Aussage gelte für ein n und möchten zeigen, dass sie auch für den Nachfolger gilt, also dass gilt:

.
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