Beweis Viereck

14.10.2011, 13:05

Cheftheoretiker

Beweis Viereck

Hallo,

ich habe noch eine kleine Aufgabe.
Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Viereck ABCD mit den Eckpunkten $\begin{eqnarray*} A(-2,-1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B(8,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C(10,3) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} D(0,2) \end{eqnarray*}$ ein Parallelogramm, Rechteck oder Quadrat ist?

Ich habe den Beweis nun folgendermaßen geführt,
Ich habe zuerst den Betrag der einzelnen Seiten berechnet.

$\begin{eqnarray*} |AB|=\sqrt{(-2-8)^2+(-1-9)^2}=\sqrt{101} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |CD|=\sqrt{(10-0)^2+(3-2)^2}=\sqrt{101} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |AD|=\sqrt{(-2-0)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{13} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |BC|=\sqrt{(8-10)^2+(0-3)^2}=\sqrt{13} \end{eqnarray*}$

Das Quadrat kann schonmal ausgeschloßen werden.
Nun habe ich die Steigung m von A und D berechnet wie auch von B und C.

$\begin{eqnarray*} m_{AD}=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{BC}=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} m\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt, es ist ein Parallelogramm.

Nun finde ich diese Beweisführung nicht gerade elegant, kann man sowas auch noch schöner zeigen? eventuell mit vollständiger Induktion?

hangman! Wink

14.10.2011, 13:13

Dopap

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1.) sind die Diagonalen gleich lang => Rechteck ( mindestens )
und
2.) stehen die Diagonalen senkrecht => Quadrat

ansonsten ein Parallelogramm, falls andere Lösungen ausgeschlossen sind.

14.10.2011, 14:16

riwe

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RE: Beweis Viereck
aus $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \end{eqnarray*}$ folgt es handelt sich (mindestens) um ein parallelogramm.

wegen $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist nicht mehr drin Augenzwinkern

14.10.2011, 14:21

Cheftheoretiker

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RE: Beweis Viereck
Das verstehe ich nicht, $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\neq 0 \end{eqnarray*}$

Wieso ungleich 0? verwirrt

14.10.2011, 14:55

riwe

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RE: Beweis Viereck
$\begin{eqnarray*} (10,1)^T\cdot(2,3)^T=23\neq 0 \end{eqnarray*}$

was ist daran unklar verwirrt

14.10.2011, 16:39

Cheftheoretiker

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RE: Beweis Viereck

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} (10,1)^T\cdot(2,3)^T=23\neq 0 \end{eqnarray*}$

was ist daran unklar verwirrt

Hm warum du das überhaupt dahin geschrieben hast... verwirrt

14.10.2011, 16:40

riwe

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RE: Beweis Viereck
wann ist denn das skalarprodukt = 0 verwirrt

14.10.2011, 16:41

Cheftheoretiker

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RE: Beweis Viereck

Zitat:

Original von riwe
wann ist denn das skalarprodukt = 0 verwirrt

Mit Vektorrechnung habe ich es nicht so verwirrt

14.10.2011, 16:56

riwe

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RE: Beweis Viereck
eher gar nicht Augenzwinkern

das skalarprodukt ist = 0, wenn die beiden vektoren senkrecht aufeinander stehen.
da dies nicht der fall ist, hast du ein parallelogramm vorliegen.

14.10.2011, 17:01

Cheftheoretiker

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RE: Beweis Viereck
Ah okay, vielen dank! Wink

15.10.2011, 01:20

Mathe-Maus

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RE: Beweis Viereck
Hallo hangman,

Du hattest diese Frage bererits in einem anderen Thread gestellt, u.a. auch Dein Hinweis, dass Ihr noch keine Vektorrechnung hattet.

Mittels Vektorrechnung kann man diese Aufgabe sehr elegant lösen, aber ohne Vektorrechnung geht es auch.
(Wie Du folgerichtig bemerkt hast, nicht ganz so elegant.)
1) Die einzelnen Seitenlängen hast Du sehr gut berechnet und damat das Quadrat ausgeschlossen! Freude

2) Die Steigungen sind

$\begin{eqnarray*} m_{AD}=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{BC}=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt wissen wir, dass die Strecke AD parallel zu BC verläuft.

3) Frage: Verläuft Strecke AB auch parallel zu DC ? Also m für diese Strecken ausrechnen.
(Die Logik anhand der Längen sagt uns im Vorfeld bereits ja.)

4) Jetzt kommt der Hinweis von Dopap ins Spiel: Sind die Diagonalen gleichlang ?

Wenn Du Pkt. 3 und 4 gelöst hast, hast Du den rechnerischen Beweis für Deine Aufgabe (hier ohne Vektorrechnung) ...

Zusatzhinweis: Formelsammlung: siehe Lagebeziehung zweier Geraden.
Gerade 1 senkrecht auf Gerade 2, wenn
$\begin{eqnarray*} m_{1} = -\frac{1}{m_{2} } \end{eqnarray*}$

Das heisst, wenn Du die Steigungen der beiden Diagonalen ausrechnest, erkennst Du, ob diese senkrecht aufeinander stehen.

LG Mathe-Maus Wink

15.10.2011, 09:29

Cheftheoretiker

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RE: Beweis Viereck
Stimmt, die habe ich noch vergessen... geschockt

Vielen dank! smile

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