Landau Symbole

14.10.2011, 15:58

El Rey

Landau Symbole

Meine Frage:
hallo mathematikerfreunde Augenzwinkern

ich sitze hier an folgender aufgabe und habe kein plan was man machen soll
wir haben nundie landau symbole kennen gelernt und ich hab das noch nicht so ganz verstanden

aufgabe:
gegeben ist eine funktion. schreiben sie den asudruck in folgender form auf $\begin{eqnarray*} f(h)=O(h^{\alpha }) bzw. f(h)=o(h^{\beta }) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beachte, dass es nicht zwingend ein größtes $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ geben muss

$\begin{eqnarray*} f(h)=5(h^2+h)^2+3h^3 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mit \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} h->0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich hab jez noch keine idee wie man an sowas dran geht
ich würd mir erstma die funktion anders hinschreiben

$\begin{eqnarray*} f(h)= 5h^4 + 13h^3 + h^2 \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nich

kann mir da jemand helfen ??

14.10.2011, 16:29

ollie3

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RE: Landau Symbole
hallo el rey,
also bisher hast du alles richtig gemacht, ich vermute, die richtige lösung ist
ordnung von h^2, denn dein h geht ja gegen 0, und bei zahlen zwischen 0
und 1 fällt h^2 viel stärker "ins gewicht" als h^3 oder h^4, würde h dagegen
gegen unendlich gehen, dann wäre diie richtige lösung h^4.
gruss ollie3

14.10.2011, 18:26

El Rey

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also ist jez die lösung
$\begin{eqnarray*} f(h)=O(h^2) \end{eqnarray*}$

¿¿??

14.10.2011, 18:58

ollie3

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ja, glaube schon, gib aber keine garantie darauf, weil das ist nicht mein fachgebiet.(frag notfalls noch einen experten).
gruss ollie3 Wink

14.10.2011, 19:23

El Rey

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naja deine erklärung macht ja sinn

wie wäre das denn bei dieser funktion hier

$\begin{eqnarray*} f(h)=cos(h)-1+ \frac{h^2}{2} \end{eqnarray*}$

das konvergiert ja gegen 0 ich denke auch hier ist es $\begin{eqnarray*} o(h^2) \end{eqnarray*}$ aber klein o

denkst du das auch ??

14.10.2011, 19:44

René Gruber

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Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius darstellbar, konkret

$\begin{eqnarray*} f(h) = \sum_{n=k}^{\infty} a_n h^n \end{eqnarray*}$ ,

mit $\begin{eqnarray*} a_k\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} f(h) = O(h^{\alpha}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \leq k \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f(h) = o(h^{\beta}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \beta < k \end{eqnarray*}$ .

Diese Hilfsaussage kann man leicht nachweisen, sie deckt (z.B. über Taylorreihen) eine ganze Menge Anwendungsfälle ab, z.B. auch

$\begin{eqnarray*} f(h) = \cos(h)-1+\frac{h^2}{2} \end{eqnarray*}$ .

14.10.2011, 19:45

ollie3

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hallo el rey,
da müsste man aber noch die reihenentwicklung von cos h berücksichtigen, ob
die das h^2 nicht "aushebelt", dann könnte man ja schon auf ordnung von h
kommen, aber das müsste ich erst nachsehen.
gruss ollie3

14.10.2011, 22:01

El Rey

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das mit der reihe verstehe ich nich so ganz
soll ich jez für cos(h) die reihe einsetzen ??

14.10.2011, 22:16

chrizke

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Ja, aber es ist natürlich nicht nötig, ewig viele Summanden dieser Reihe zu berechnen, sondern wirst sehr schnell feststellen, bis wohin du sie nehmen musst.

Aus dieser Reihendarstellung ergibt sich dann auch, mittels Abschätzung des Restgliedes, deine gesuchte Ordnung für h->0.

15.10.2011, 17:45

El Rey

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ich bin mir nicht sicher

$\begin{eqnarray*} f(h)=o(h^4) \end{eqnarray*}$

richtig ??

wann nimmt eig klein o und wann groß O ??

15.10.2011, 17:52

René Gruber

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Falls du von $\begin{eqnarray*} f(h) = \cos(h)-1+\frac{h^2}{2} \end{eqnarray*}$ sprichst:

Hier ist $\begin{eqnarray*} f(h)\in O(h^4) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} f(h)\not\in o(h^4) \end{eqnarray*}$ , denn es gilt ja

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0} \frac{f(h)}{h^4} = \frac{1}{24} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

15.10.2011, 18:10

El Rey

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kannst du mir den unterschied zwischen klein o und dem großen erklären weil ich seh in der definition den unterschied nich so ganz

15.10.2011, 18:14

René Gruber

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Herrje, kannst du denn nicht die Definition "lesen"? unglücklich

Es ist $\begin{eqnarray*} f(h)\in O(h^4) \end{eqnarray*}$ , wenn der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{f(h)}{h^4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h\to 0 \end{eqnarray*}$ beschränkt bleibt. Das ist z.B. dann erfüllt, wenn dieser Quotient sogar konvergiert (was hier der Fall ist).

Für $\begin{eqnarray*} f(h)\in o(h^4) \end{eqnarray*}$ reicht aber diese Beschränktheit oder Konvergenz allein nicht aus, es muss die Konvergenz gegen Null sein! Und die ist hier eben nicht erfüllt.

15.10.2011, 18:39

El Rey

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okay jez verstehe ich das
was ist denn wenn ich gar keine konvergenz habe

soll ich dann sagen man kann keine potenz von h angeben ??

15.10.2011, 19:40

René Gruber

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Zitat:

Original von El Rey
was ist denn wenn ich gar keine konvergenz habe

Nochmal: Schau dir die Definitionen gründlich an:

Keine Konvergenz des Quotienten, kein $\begin{eqnarray*} o \end{eqnarray*}$ .

Bei $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ : Da geht es nicht primär um Konvergenz, sondern um Beschränktheit.

Zitat:

Original von El Rey
soll ich dann sagen man kann keine potenz von h angeben ??

Völlig verkehrt: Wir haben oben nur mit Vergleichsfunktion $\begin{eqnarray*} h^4 \end{eqnarray*}$ operiert. Man könnte ja im Misserfolgsfall es mit niedrigeren Potenzen probieren, z.B. $\begin{eqnarray*} h^3 \end{eqnarray*}$ .

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