über die Topologie erzeugte sigma algebra / borel sigma algebra

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mathe versucher Auf diesen Beitrag antworten »
über die Topologie erzeugte sigma algebra / borel sigma algebra
Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine frage bezüglich der borel sigma algebra die ja ein fundament in der maß bzw wtheorie darstellt.
warum wird diese sigma algebra von der topologie über die reellen zahlen erzeugt ?
warum gerade topologie ? ich weiss dass die borel sigma algebra alle teilmengen des R hoch n enthält die messbar sind - also sozusagen denen man ein vernünftiges sinnvolles maß auch zuordnen kann - aber warum sagt unser professor explizit dass die borel sigma algebra von einer topologie erzeugt wird ? mir wäre es sehr wichtig den zusammenhang zu verstehen

Meine Ideen:
leider keine unglücklich
matheversucher Auf diesen Beitrag antworten »

doch so simpel dass keiner antwortet ?

schäm
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe versucher
warum wird diese sigma algebra von der topologie über die reellen zahlen erzeugt ?

Entweder wird sie so definiert (so kenne ich es) - oder man kann es aus einer anderweitigen Definition der Borel-Sigmaalgebra folgern.

Im ersten Fall erledigt sich deine Frage - Definition ist Definition. Falls der zweite Fall zutrifft, dann musst du uns zunächst mal eure Definition der Borel-Sigmaalgebra nennen!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist eine Topologie definiert?

[Habe das schon mal gehört, aber würde gerne mal eine genaue Definition sehen.]
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Gemeint ist damit hier sicher ein Topologischer Raum.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin jetzt alles andere als ein Experte.

Aber wenn ich das recht verstanden habe, so besteht ein topologischer Raum doch aus einer Grundmenge und der eigentlichen Topologie, also zum Beispiel

, wobei die Menge der offenen Teilmengen von sei.

Und dann erzeugt ja die Topologie die Borel-sigma-Algebra .



[Kann man das so sagen? Und kann man statt auch (alle abgeschlossenen Teilmengen des ) nehmen?]
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Und dann erzeugt ja die Topologie die Borel-sigma-Algebra .


Genau das meinte ich ja mit meiner Äußerung

Zitat:
Original von René Gruber
Entweder wird sie so definiert (so kenne ich es)


Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann habe ich Dich jetzt verstanden!

Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, wenn jetzt der topologische Raum ist und die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von sei, so ist doch ebenfalls ein Erzeuger von , ja?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Achso, wenn jetzt der topologische Raum ist und die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von sei, so ist doch ebenfalls ein Erzeuger von , ja?
Ja.
Wenn man die Borel-Mengen so definiert, dann wäre in der Tat noch zu zeigen, dass beide Definitionen äquivalent sind.

Man müsste also wissen, wie der Themenstarter die Borel-Sigma-Algebra nun definiert hat.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
matheversucher Auf diesen Beitrag antworten »

hallo nochmal,

bin jetzt grad wieder heim und freu mich dass sich ja einiges getan hat bezüglich meiner frage.

nun, ich glaube, dass mein problem wohl ist dass ich mit dem begriff topologie auch nicht so ganz vertraut bin. der prof hat es nur kurz definiert. es bestehen sehr viele ähnlichkeiten zur eigentlichen sigma algebra.

eine topologie enthält immer die obermenge also die eigentliche menge und die leere menge.
desweiteren ist dieses system abgeschlossen bezüglich enldicher schnittbildung.
als letzte eigenschaft ist zu erwähnen, dass überabzählbare vereinigungen auch zugelassen werden.

nun vielleicht der haken aus meiner sicht:
man sagt die elemente einer topologie nennt man offen.
also sind alle elemente einer topologie offen.
somit sind ja die komplemente abgeschlossen
-- kann es denn überhaupt sein dass auch komplemente in der topologie liegen ? gefordert wird es ja nach definition nicht
dann wäre das für mich aber wiederum widersprüchlich, weil man ja sagt, dass die elemente einer topologie offen genannt werden.

im klenke konnte ich bisschen nachlesen ->

dort heisst es ebenfalls, dass die borel sigma algebra aus der topologie über den R hoch n gebildet wird
aber man sucht einfachere erzeuger die handlicher sind , sprich einen abzählbaren erzeuger wie zum beispiel alle quader mit rationalen eckpunkten.

so nun bevor es zu durcheinander wird:

-- wieso garantiert die topologie als erzeuger überhaupt, dass man mit ihr als erzeuger alle sinnvollen also vernünftigerweise messbaren mengen erhält
-- und wo ist der zusammenhang von der topologie zu dem erzeuger der aus quadern mit rationalen eckpunkten besteht (wobei zu erwähnen ist, dass noch mehr erzeuger existieren)

vielen dank schonmal
matheversucher Auf diesen Beitrag antworten »

noch ein nachtrag,

die borel sigma algebra hat letztendlich die eigenschaften einer sigma algebra laut definition.
das besondere ist wohl wenn wir uns nur auf den fall R hoch n konzentrieren, dass eben die borel sigma aufgrund ihres erzeugers alle teilmengen des R hoch n enthält, die messbar sind - denen also ein vernünftiges maß zugeteilt werden kann (also kommen zum beispiel die sogenannten vitali mengen nicht vor)
die potenzmenge über den R hoch n enthält mengen denen man kein konsistentes maß zuordnen kann - somit hätten wird das problem das wir diese elemente gar nicht messen können, weil wir eben immer wieder widersprüchliche ergebnisse bekommen könnten.
um aber eben jegliche mengentheoretischen operationen ohne bedenken ausüben zu können - mit hinzunahme der abbildung die eben jeder beliebigen menge aus dieser potenzmenge eine masse zuordnet, müssen wir die "schlechten mengen" rausnehmen.
die borel sigma algebra ist eben jenes mengensystem, dass alle "guten" mengen enthält.

aber warum erzeugt eben eine topologie genau dieses system vollständig also ohne dass eine "gute" menge fehlt und ohne dass eine "schlechte" menge auftaucht ?
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