Mengen Beweise

Neue Frage »

hakunamatata Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen Beweise
Hallo zusammen!

Es geht um folgende Aufgabe.

Seien X,Y,Z Teilmengen einer Menge E. Zeigen Sie, dass

(i) Es ist X eine echte Teilmenge von Y genau dann, wenn E-Y eine echte Teilmenge von E-X ist.

Also mir ist klar, dass ich zunächst

Wenn Aussage A gilt, gilt auch B (-->) und dann wenn Aussage B gilt, gilt auch A beweisen muss (<--). Allerdings weiß ich nicht wie ich dann anfangen soll. Bin noch ein ziemlicher Anfänger...also wäre ich für ein bisschen Hilfe dankbar.

Grüße hakunamatata
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengen Beweise
hallo!
zuerstmal: mit E-X meinst du !?

dann brauchst du eigendlich nichts weiter als die definition für teilmenge (edit: und natürlich fürs komplement):



lg
 
 
hakunamatata Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie muss ich dann weitermachen? Ich hab da Probleme mit dem Aufschreiben...
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

also du nimmst als erstes - um die "eine richtung" zu zeigen - an, dass ; damit zeigst du dann, dass .
du musst also zeigen (nach def. für teilmenge-siehe mein letzter post): .
das krigst du hin, wette ich smile
lg
hakunamatata Auf diesen Beitrag antworten »

also so in etwa?

x aus E\Y

--> x (aus) E und x (nicht aus) Y
--> x (aus) E und x (nicht aus) Y und x (nicht aus) X
--> x (aus) E und x (nicht aus) Y und x (nicht aus) X und x (nicht aus) Y
--> x (aus) E\X

Ist das so in Ordnung, wenn ja wie muss ich weitermachen....

Danke für ein Feedback...;-)
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

nicht so ganz.. deine dritte Folgerung besagt, so wie es dort steht, das gleiche wie deine zweite Folgerung, daher unnötig...ich strukturiere dir das mal:

Behauptung: Für ist
(Sei E eine Menge. Für zwei echte Teilmengen X und Y gilt: Es ist X eine echte Teilmenge von Y genau dann, wenn E-Y eine echte Teilmenge von E-X ist)

Beweis: Es ist zu Zeigen, dass


D.h. du forderst (nimmst an, dass gilt), dass und folgerst daraus, dass


hier forderst du dass und folgerst dann, dass


Zu den Beweisen an sich.
Nehmen wir die erste Teilbehauptung. (Mache dir die Mengenschreibweise klar, links Elemente der Menge, rechts die Eigenschaften, die diese Elemente erfüllen)


Bemerke, dass

Betrachte:


nun betrachten wir mal:


(Hinweis: Betrachtung nicht unbedingt nötig für diese Aufgabe!)

Ich weiß nicht, ob dir die Komplementbildung vertraut ist, idR kannst du dir das so vorstellen.. wenn du das Komplement der Schnittmenge betrachtest, dann nimmst du alle Elemente, die nicht im Schnitt liegen. d.h. das Komplement einer Menge sind immer all jene Elemente, die nicht in deiner Menge enthalten sind. Über die Komplementbildung ist jeweils das 3. Gleichheitszeichen zu erklären.

Mit diesen Betrachtungen, kannst du nun die Behauptung aus den (Rechen-)Regeln zum Umgang mit Mengen folgern oder Erkenntnisse für Äquivalenzumformungen gewinnen. (Hinweis: betrachte nochmal die Bemerkung und mache sie dir Anhand deiner Vorlesungsnotizen klar oder versuche diese zu beweisen Augenzwinkern UND als kleine weitere Übung, mach dir jeweils das 3. Gleichheitszeichen gedanklich wie auch schriftlich klar ~übe das notieren von Mengen und erlerne den Umgang mit dem Komplement)

Liebe Grüße
Shalec
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »