Quadratwurzel modulo 2er-Potenz

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Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratwurzel modulo 2er-Potenz
Hallo!

Ich studier jetzt schon eine ganze Weile an einer Aufgabe herum und drehe mich im Kreis.

Ausgangslage: Sei a eine ungerade Zahl und sei r>3.

Zu zeigen: Aus folgt


Ich habe verschiedene Ansätze probiert, z. B. habe ich mir überlegt (via einer früheren Aufgabe), dass a nur eine Wurzel modulo 2^r haben kann, wenn gilt.

Auch habe ausgerechnet, dass gelten muss.

Schliesslich habe ich mir auch überlegt, dass gelten muss und habe dann versucht, damit den Ausdruck
so weit zu modulo 2^r zu vereinfachen, dass letztlich a herauskäme, also die Aussage direkt durch nachrechnen zu zeigen

Eine weitere Idee, war folgende: Aus habe ich gefolgert, dass gilt und damit, nach Umformung auch bzw. . Hier muss ich aber einen Fehler gemacht haben, denn da mit a auch x kein Vielfaches von 2 bzw. 2^r sein kann, würde daraus bzw. folgen, d.h. jede Wurzel von a modulo 2^(r-1) wäre automatisch auch Wurzel von a modulo 2^r -- dann bräuchte es ja diese ganze Umformung mit dem Bruch gar nicht.

Lange Rede kurzer Sinn: Ich wäre froh um einen Denkanstoss.


Danke & Gruss
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir deine Vorschläge nicht alle durchgelesen, dazu fehlt mir die Konzentration (es kann ganz schön anstrengend sein, sich in anderer Leute Gedanken reinzuversetzen - manchmal viel anstrengender, als selbst eine Lösung zu finden), ich weise nur auf folgendes hin:


kann man in zwei Fälle aufsplitten:

(1)

(2)


Beide Fälle durchrechnen, fertig.


EDIT: Als Vorbetrachtung ist sicher noch folgendes hilfreich: Es gilt , folglich auch , was wegen Voraussetzung letzlich auch bedeutet.

Damit ist schon mal



klar, anschließend die angesprochene Fallunterscheidung vornehmen.
 
 
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort; habe erst jetzt deine Ergänzung gesehen, damit wird meine Nachfrage hinfällig. Muss jetzt zuerst lesen...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte in der Zwischenzeit meinen Beitrag ergänzt, hast du wohl (noch) nicht mitgekriegt. Jedenfalls ist dann auch Fall (2) ein Einzeiler.
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, also diese Umformungen sind ja schon recht trickreich, kein Wunder, dass ich das nicht gesehen habe. Ich hatte mich noch gefragt, an welcher Stelle ich die Voraussetzung r>3 einbringen könnte, bin aber nicht darauf gekommen.

Und leider (vielleicht bin ich schon zu lange dran) komme ich auch bei



nicht auf etwas Schönes. Da müsste doch eigentlich a herauskommen, und deinem Hinweis folgend («Einzeiler») sogar recht rasch.

Auf jeden Fall schon vielen Dank, du hast mir schon sehr geholfen.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

An der Stelle forme ich so weiter um:

,

denn der letzte Summand ist (wieder wegen r>3) durch teilbar. Der vorletzte aber auch, wobei hier die Ungeradheit von benutzt wird!
Philipp Imhof Auf diesen Beitrag antworten »

Gott meine Güte! Wenn man das liest, sieht es immer so einfach aus...

Ich sehe schon, mein Weg ist noch weit.


Besten Dank & noch einen schönen Abend
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen - ich freue mich, dass ich dir mit meinem zahlentheoretischen Halbwissen weiterhelfen konnte. Wink
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