Man bestimme alle reellen Zahlen, die folgende Ungleichung erfüllen:

16.10.2011, 16:51

mathelow

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Man bestimme alle reellen Zahlen, die folgende Ungleichung erfüllen:

Meine Frage:
Hallo,
es geht um folgende Aufgabe:

Man bestimme alle reellen Zahlen, die folgende Ungleichung erfüllen:
| 1 + x | > oder = 4

Meine Ideen:
Da ich nicht wirklich weiß, wie ich anfangen soll, kann ich hier leider nicht wirklich viele Ansätze preisgeben.

Google befragt, bin aber immer noch nicht klüger.

16.10.2011, 17:11

Pfirsichtee

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Was kannst du denn bei einer Aufgabe mit Betrag machen? Was bietet sich an, um den Betrag sinnvol auflösen zu können?

16.10.2011, 17:17

mathelow

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RE: Man bestimme alle reellen Zahlen, die folgende Ungleichung erfüllen:
Ich habe jetzt versucht den Betrag aufzulösen indem ich das quadrat nehme und bin dann auf x > oder = die wurzel von 3 verwirrt

verwirrt

16.10.2011, 17:20

Pfirsichtee

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Stichwort : Fallunterscheidung.

Sollte dir das absolut kein Begriff sein, dann schau hier einfach mal im Analysis Forum , egal ob Unter oder Hochschule ein wenig rum. Da gibt es viele Aufgaben zum Thema Betrag auflösen mit Fallunterscheidung.

16.10.2011, 17:33

mathelow

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hm habe zwar ein paar themen gefunden, aber nichts gefunden, wie man das genau auflöst

16.10.2011, 17:51

mathelow

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Ich habe das jetzt mal nach Fallunterscheidung gemacht.
Hoffe das ist richtig.

Fall 1:

x + 1 >= 4
daraus folgt -> x >= 3

Fall 2:

(-1)*(x+1) >= 4
-x-1 >= 4
-x >= 5
x >= -5

Ergebnis:

L = (-5 ; 3)

Stimmt dat ? verwirrt

verwirrt

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16.10.2011, 18:27

Leopold

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$\begin{eqnarray*} |x-a| = \text{Abstand von} \ x \ \text{und} \ a \end{eqnarray*}$

Folglich ist $\begin{eqnarray*} |x-a| \geq h \end{eqnarray*}$ folgendermaßen zu übersetzen: Gesucht sind alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einen Abstand besitzen, der mindestens $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist.

Für das konkrete Beispiel beachte: $\begin{eqnarray*} |1+x| = |x+1| = \left| x - (-1) \right| \end{eqnarray*}$ .

Paßt nun deine Lösung?

16.10.2011, 18:32

Pfirsichtee

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Naja nicht ganz.

Ich mache dir das ganze mal an einer anderen Aufgabe vor und du versuchst das Prinzip auf deine Aufgabe zu übertragen.

Sei also nun :

$\begin{eqnarray*} | x - 2 | \leq 0 \end{eqnarray*}$

Was müssen wir nun machen? Richtig, wir müssen schauen, wann der Betrag größer oder gleich 0 ist und wann er negativ wird. Also müssen wir betrachten, für welche x gilt :

$\begin{eqnarray*} x - 2 < 0 < = > x < 2 \end{eqnarray*}$

Das ist also unser erster Fall : x < 2.

Nun wissen wir wann der Betrag negativ wird. Betrachten wir also noch, wann der Betrag positiv wird. Also :

$\begin{eqnarray*} x - 2 \geq 0 < = > x \geq 2 \end{eqnarray*}$

Das ist also der zweite Fall den wir betrachten. Nun fängt also unsere Fallunterscheidung an.

1. Fall : x < 2

In diesem Fall wird der Term im Betrag negativ. Also machen wir den Term auch negativ beim Auflösen :

$\begin{eqnarray*} | x - 2 | \leq 2 \Rightarrow - ( x - 2 ) \leq 2 \end{eqnarray*}$

Und nun bist du dran Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit : Ich habe ausversehen einen kleinen Fehler eingebaut, den ich jetzt noch berichtigt habe. Ich hoffe du hattest nicht schon angefangen. Big Laugh

Big Laugh

16.10.2011, 18:49

mathelow

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Ich bekomme immer -5 und 3 rauß ....

| 1 + x | >= 4

Fall 1: x > 1

-1-x >= 4 | +1
-x >= 5 | unglücklich

unglücklich

-1)
x >= -5

Fall 2: x <= 1

1+x >= 4 |-1
x >= 3

oh mann ...

16.10.2011, 18:54

Leopold

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Zitat:

Original von Pfirsichtee
$\begin{eqnarray*} | x - 2 | \leq 0 \end{eqnarray*}$

Nun ja, sehr aussagekräftig scheint mir dieses Beispiel nicht zu sein. Denn

$\begin{eqnarray*} |x-2| \leq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ |x-2|=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x-2=0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x=2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Pfirsichtee
Was müssen wir nun machen? Richtig, wir müssen schauen, wann der Betrag größer oder gleich 0 ist und wann er negativ wird.

Es geht nicht darum, ob der Betrag positiv oder negativ ist (ein Betrag ist ja niemals negativ), sondern ob die Zahl, von der der Betrag berechnet wird, positiv ist oder nicht. Das ist zwar länger in der Formulierung als bei dir, dafür aber richtig.

16.10.2011, 18:56

Leopold

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Zitat:

Original von mathelow
...

Fall 1: x > 1

...

Fall 2: x <= 1

Das ist die falsche Fallunterscheidung.

16.10.2011, 19:02

mathelow

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und woher weiß ich welche richtig ist? verwirrt

verwirrt

16.10.2011, 19:08

Pfirsichtee

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Indem du die Ungleichungen 1 + x < 0 und 1 + x >= 0 löst.

Lies nochmal ganz genau was ich geschrieben habe, wie man überhaupt darauf kommt, welche Fälle zu betrachten sind. Natürlich mit Leopolds Einwand im Hintergedanken. ^^

16.10.2011, 19:08

Leopold

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Du mußt du das, was in den Betragsstrichen steht, größergleich oder kleiner als Null setzen. Dann kommst du von alleine auf die richtige "Grenzzahl".

(Ich habe dir übrigens in meinem ersten Beitrag eine andere Methode vorgestellt, wie du ganz ohne Rechnung zur Lösung der Aufgabe kommst.)

16.10.2011, 19:25

mathelow

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Zitat:

Original von Leopold
Du mußt du das, was in den Betragsstrichen steht, größergleich oder kleiner als Null setzen. Dann kommst du von alleine auf die richtige "Grenzzahl".

(Ich habe dir übrigens in meinem ersten Beitrag eine andere Methode vorgestellt, wie du ganz ohne Rechnung zur Lösung der Aufgabe kommst.)

Ist es nicht egal ob ich | 1 + x | habe oder | x - (-1) |

16.10.2011, 19:29

Leopold

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Worauf soll diese Frage zielen?

16.10.2011, 19:33

mathelow

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Zitat:

Original von Leopold
Worauf soll diese Frage zielen?

Das ich nicht verstehe, zu was diese Umformung führen soll.
Bzw. wie ich da ein Ergebnis bekomme.

16.10.2011, 19:35

Leopold

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Ah so! Meine Umformung bezog sich auf meinen alternativen Lösungsvorschlag, der ganz ohne Fallunterscheidung funktioniert und direkt die Lösung anzeigt.
Jetzt solltest du dich entscheiden, welchen Ansatz du weiterverfolgen willst, sonst gibt das ein Durcheinander.

16.10.2011, 19:38

mathelow

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Lieber den bisherigen.
Bin schon genug verwirrt Hammer

Hammer

Habe jetzt als Fälle folgendes:

Fall 1: x <= -1
Fall 2: x >= -1

Lösungsmenge (-5;3)

Grenzen: (-unendlich;-1[-1;unendlich)

16.10.2011, 19:48

Leopold

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Die Lösungsmenge stimmt nicht.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x < - 1 \end{eqnarray*}$

Dann geht die Umformung so:

$\begin{eqnarray*} |x+1| \geq 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ -x-1 \geq 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ -x \geq 5 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \leq -5 \end{eqnarray*}$

Die ganze Umformung steht aber unter der Generalannahme des ersten Falls. Ich formuliere das einmal ausführlich: Unter allen Zahlen, die kleiner als -1 sind, sind es genau diejenigen, die kleiner oder gleich -5 sind, die die Ungleichung erfüllen.

Welche Zahlen sind das somit?

Und wie geht der zweite Fall?

16.10.2011, 19:51

mathelow

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Zitat:

Original von Leopold
Die Lösungsmenge stimmt nicht.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x < - 1 \end{eqnarray*}$

Dann geht die Umformung so:

$\begin{eqnarray*} |x+1| \geq 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ -x-1 \geq 4 \ \ \Leftrightarrow \ \ -x \geq 5 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \leq -5 \end{eqnarray*}$

Die ganze Umformung steht aber unter der Generalannahme des ersten Falls. Ich formuliere das einmal ausführlich: Unter allen Zahlen, die kleiner als -1 sind, sind es genau diejenigen, die kleiner oder gleich -5 sind, die die Ungleichung erfüllen.

Welche Zahlen sind das somit?

Und wie geht der zweite Fall?

Ich hab doch selbst auch -5 rauß Big Laugh

Big Laugh

und der 2. Fall wird dann das Ergebnis 3

16.10.2011, 19:53

Leopold

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Es steht da aber nicht $\begin{eqnarray*} x=-5 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} x \leq -5 \end{eqnarray*}$ . Und das ist ein GEWALTIGER Unterschied.

16.10.2011, 19:58

mathelow

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Zitat:

Original von Leopold
Es steht da aber nicht $\begin{eqnarray*} x=-5 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} x \leq -5 \end{eqnarray*}$ . Und das ist ein GEWALTIGER Unterschied.

Ja ich habe ja auch ausgerechnet x <= -5 und in Fall 2 x >= 3 rauß,

aber die Lösungsmenge schreibt man doch als (-5 ; 3) oder muss ich da auch (<= -5 ; >= 3) schreiben ???? verwirrt

verwirrt

16.10.2011, 20:01

Leopold

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Zwischen dem ersten und dem zweiten Fall steht ein logisches ODER (Vereinigungsmenge). Zwischen der Einteilung des Falls und der Lösung im entsprechenden Fall steht ein logisches UND (Schnittmenge). Das ist der Kern der Sache. Und da liegt dein Fehler.

Jetzt sage erst einmal nur: Was ist die Lösungsmenge im ersten Fall?
Dann sage: Was ist die Lösungsmenge im zweiten Fall?

Dann vereinige die beiden Lösungsmengen.

Zitat:

Original von mathelow
oder muss ich da auch (<= -5 ; >= 3) schreiben ???? verwirrt

verwirrt

Das geht in die richtige Richtung. Es ist nur formal nicht richtig aufgeschrieben.

16.10.2011, 20:06

mathelow

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Zitat:

Original von Leopold
Zwischen dem ersten und dem zweiten Fall steht ein logisches ODER (Vereinigungsmenge). Zwischen der Einteilung des Falls und der Lösung im entsprechenden Fall steht ein logisches UND (Schnittmenge). Das ist der Kern der Sache. Und da liegt dein Fehler.

Jetzt sage erst einmal nur: Was ist die Lösungsmenge im ersten Fall?
Dann sage: Was ist die Lösungsmenge im zweiten Fall?

Dann vereinige die beiden Lösungsmengen.

L1 = ( -1 ; -5 )
L2 = ( 3 ; -1 )

L1+L2 = L = ( 3 ; -5 )

Richtig so? Tanzen

Tanzen

16.10.2011, 20:13

Leopold

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Nein, nicht richtig.

Generalbedingung im ersten Fall: $\begin{eqnarray*} x < -1 \end{eqnarray*}$
Ungleichung im ersten Fall: $\begin{eqnarray*} x \leq -5 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du schneiden: Welche Zahlen sind es denn, die beide Bedingungen zugleich erfüllen? Und so bekommst du das Lösungsintervall im ersten Fall.

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