komplexe Skalarprodukte

17.10.2011, 16:05	kappa_rel	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Skalarprodukte Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und V = $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ der C-Vektorraum der n x n Matrizen mit Einträgen in C. Gegeben seien die Funktionen f : V x V -> C mit 1. f (A;B) = sp( $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ B) 2. f (A;B) = det( $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ B) 3. f (A;B) = sp( $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ B^T) 4. f (A;B) = sp(AB^T ) 5. f (A;B) = ( $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ B)_{i,j}, wobei 1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ i; j $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ n 6. f (A;B) = ( $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ ^TB)_{i,j}, wobei 1 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ i; j $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ n. (a) Welche Funktionen sind sesquilinear? (b) Welche Funktionen definieren ein Skalarprodukt auf V? (c) Beschreiben Sie die Einträge der Matrizen der Skalarprodukte bzgl. der Standardbasis von V. Meine Ideen: Bei (a) habe ich durch Nachrechnen der Eigenschaften herausbekommen, dass die 2. und 4. nicht sesquilinear sind, somit auch kein Skalarprodukt definieren. Nun müsste ich für die anderen ja noch zeigen, dass sie hermite'sch und positiv definit sind, um ein Skalarprodukt zu definieren. Hierbei komme ich aber nicht so recht weiter. Für die 1. wäre mein Ansatz folgendermaßen: sp( $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ B)=sp(B $\begin{eqnarray} \overline{A} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline{sp(B\overline{A})} \end{eqnarray}$ = sp( $\begin{eqnarray} \overline{B} \end{eqnarray}$ A) Das wäre ja ein Widerspruch zur Defintion von hermite'sch, also müsste hier ja kein Skalarprodukt vorliegen. Ist zumindet das so in Ordnung und wie komme ich bei den anderen weiter?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »