Eigenwert

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speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert
Meine Frage:
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei A aus Mnn(K) und sei p aus K[T]. Beweisen Sie: Wenn d ein Eigenwert von p(A) ist, dann gilt d = p(a), wobei a ein Eigenwert von A ist.

Meine Ideen:
Hab schon einiges an Umformugen probiert. Hilft aber alles nichts, weil Vektorprodukt nicht def. Mir fehlt der Ansatz!
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll das Vektorprodukt hier auch bringen?
In Erweiterung des vorherigen Threads: schreib mal p(A) konkret auf.
 
 
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist egal... Die Umformungsidee war schlecht... WIe soll ich p(A) konkret aufschreiben??? Also z.B. (A-Lambda1*I)...(A-Lambdan*I) oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

p ist Polynom. Damit kann man in Abhängigkeit von p p(A) als Summe von skalaren Vielfachen von Potenzen von A schreiben. (klingt schlimmer als es ist).
Danach beschäftigen wir uns mit den EW.
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Z.B. 3A^3+4a+5 - was können wir damit anfangen?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das war für . wie siehts für allgemeines p aus?
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

anA^n+...+a0A^0
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Ums kurz zu machen:
Wenn A*x=a*x, dann lässt sich daraus für beliebige an und n ableiten: an*A^n*x=an*a^n*x...
Also auch (mit aufaddieren) (anA^n+...+a0A^0)*(nx)=(an*a^n+...+a0)*(nx), wobei n ein Skalar. Damit lässt sich alles beweisen oder???
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ausführungen sind soweit richtig. Ich kann allein damit nicht alles beweisen (was nichts heißen muss), ich brauch die algebraische Abgeschlossenheit von K.
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu brauche ich noch die Abgeschlossenheit? DASS ich sie brauche, ist mir klar...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Beweisidee braucht eine Hauptraumzerlegung von bzgl. A.
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs mal mit meineer Beweisidee: Also wenn man d hat, dann kann man nach meiner schönen Formel setzen d= an*a^n+...+a0 = p(a). Jetzt müsste man natürlich beweisne, dass a Eigenwert von A ist... hauptraumzerlegung - kann es sein dass ich das unter eigenraumzerlegung kenne? Wenn ja, wie leiten wir gesuchtes daraus her?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

dafür brauchst Du schon die algebraische Abgeschlossenheit, da so ein a nur existiert falls das Polynom eine Nullstelle hat.
Hauptraumzerlegung ist die verallgemeinerte Eigenraumzerlegung. Nicht-diagonalisierbare Matrizen können (im algebraischen Abschluß) jordanisiert werden.
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Beweisführung ist quatsch: Es ist nicht gesagt, dass a ein Eigenwert ist dadurch... Nur die Umkehrung gilt leider wie oben gezeigt. Oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das zeigt dass für alle EW a von A, p(a) einer vpn p(A) ist.
Dass eine NST von p-d EW ist zeigt es nicht.
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lösen wir das jetzt?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich Haupträume verwenden oder nicht?
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne wäre besser aber wenn es nicht anders geht muss es sein - ich hatte es ja...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht eine kurze Anmerkung: Es reicht schon völlig, dass im algebraischen Abschluss jeder Endomorphismus trigonalisierbar ist. Das Produkt von Dreiecksmatrizen ist schließlich wieder eine Dreiecksmatrix, wobei sich die Diagonalelemente einfach einzeln multiplizieren.

Dann braucht man die Hauptraumzerlegung gar nicht, denn bei einer Dreiecksmatrix stehen die Eigenwerte ja gerade alle auf der Diagonalen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

So also egal ob wir jordanisieren oder trigonalsieren:
Wir können unser A auf eine Form (nennen wir sie D) bringen in der die EW auf der Diagonalen steht. Wie sehen die EW von p(D) aus?

@tmo: Ja es ist leichter nur zu trigonalisieren, das wird aber manchmal in Vorlesungen gar nicht gemacht, so wie bei mir damals.
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht. Aber dass die EW auf der Diagonalen sind verstehe ich...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Nach dem obigen gibt es eine invertierbare Matrix T so dass , wobei D eine obere Dreiecksmatrix ist (oder Jordanmatrix). Damit kann man p(A) relativ einfach schreiben (mittels p(D)). Die Diagonale von p(D) lässt sich sehr einfach ausrechnen.
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin total verwirrt. Muss ich nciht p(TDT^-1) einsetzen? Nicht nur D. Und wie soll man bitte die Diagonale Berenchen??? Eigentlich die EW oder? Aber wie können wir daraus unsere Aufgabe beweisen?
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Könnten wir bitte etwas schneller voranschreiten - ich sitze hier seit 2h ohne ergebnis und meine konzentration lässt nach.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne doch mal .
dann wirst Du hoffentlich den Zusammenhang zwischen p(A) und p(D) sehen.
Und ja ich würde auch gern schneller voranschreiten. ich werde hier aber keine Musterlösung geben.
Speisekarte Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe da nichts - so oft ich auch hinschaue
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreibs aus (meinetwegen für n=2).
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