Zeigen, dass komplexe Zahlen ein Körper sind

17.10.2011, 20:02

Synys

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Zeigen, dass komplexe Zahlen ein Körper sind

Hey,

der Titel sagt eigentlich schon alles. Ich soll zeigen, dass die komplexen Zahlen ein Körper sind, nur steh ich komplett auf dem Schlauch. Mir ist klar, dass ich die Axiome benutzen muss, die ich hier vor mir liegen hab, aber ich hab keinen Blassen wie ich das formulieren soll.

Ein Axiom wäre ja, dass $\begin{eqnarray*} \forall x, y, z \in K \end{eqnarray*}$ (K der Körper) gilt:
$\begin{eqnarray*} (x+y)+z = x+(y+z) \end{eqnarray*}$ (Assoziativgesetz)

Und wie wende ich das rein formal nun auf die komplexen Zahlen an?
Muss ich irgendwas mit $\begin{eqnarray*} z= x+ iy \end{eqnarray*}$ machen?

Da ja $\begin{eqnarray*} z= \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z= x+ iy \end{eqnarray*}$

Und nun korrigiert mich, falls folgende Annahme falsch sein sollte: Da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ müsste es schon von vorneherein Axiome geben, die für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ erfüllt sind und als Schlussfolgerung auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .
(Klar, dass die Axiome für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gültig sind, da es sich ja um einen Körper handelt, aber mit einer Schlussfolgerung sollte man sich doch einen Teil der Beweise für $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ sparen können? Evtl, nur ne Vermutung)

17.10.2011, 20:16

galoisseinbruder

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Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, musst Du zeigen dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die Körperaxiome erfüllt. Dafür darfst Du diese nicht verwenden.
Wie habt Ihr denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ definiert?
Ausgehend davon kannst Du zeigen dass alle Körperaxiome erfüllt werden.

17.10.2011, 20:16

Pascal95

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Deine Vermutung ist völlig richtig.

Schließlich beruht die Addition in den Komplexen Zahlen ja auf der in den reellen Zahlen.

Man sagt dann, dass sich die Eigenschaften vererben.

17.10.2011, 20:31

Synys

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Definiert haben wir $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ indem man gesagt hat $\begin{eqnarray*} K = \mathbb R ^2 = \left\{ x,y\right\} = : x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ versehen mit der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} +,\cdot \end{eqnarray*}$ . Es ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb C = \left(\mathbb R ^2,+ ,\cdot \right) \end{eqnarray*}$ . Und jetzt steh ich halt da und soll die Axiome beweisen. Vllt macht es Sinn zu sagen, dass es sich um "Mathematik für Physiker" handelt.
Wie kann ich dann eine solche Vererbung angeben?

17.10.2011, 20:44

galoisseinbruder

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Du kannst verwenden, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist und die Definitionen von $\begin{eqnarray*} +,\cdot \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

17.10.2011, 20:51

Pascal95

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RE: Zeigen, dass komplexe Zahlen ein Körper sind
Dann fangen wir mal mit dem Assoziativgesetz an (damit wolltest du ja sowieso beginnen):

Zitat:

Original von Synys
Ein Axiom wäre ja, dass $\begin{eqnarray*} \forall x, y, z \in K \end{eqnarray*}$ (K der Körper) gilt:
$\begin{eqnarray*} (x+y)+z = x+(y+z) \end{eqnarray*}$ (Assoziativgesetz)

Hier ist $\begin{eqnarray*} K=\mathbb C \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x,y,z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Dann können wir dies schreiben als: $\begin{eqnarray*} x&=&(x_1,x_2)\\y&=&(y_1,y_2)\\z&=&(z_1,z_2) \end{eqnarray*}$ .

Nun mache dir klar, dass die Addition komponentenweise definiert ist und rechne...

Genau hier musst du die Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ausnutzen!

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17.10.2011, 21:11

Synys

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Alles klar, dann werd ich mich mal daran versuchen. Danke für die Hilfe, mal schauen wie weit ich komm. Freude

Freude

17.10.2011, 21:31

Pascal95

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Ok, alles klar.

Melde dich dann einfach wieder hier.

Und es ist eigentlich einfacher, als man denkt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viel Erfolg Wink

Wink

19.10.2011, 12:35

Synys

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Also, ich hab mich grad mal rangesetzt und würde gerne wissen ob ich mit dem Folgenden das Assoziativgesetz für die komplexen Zahlen bewiesen habe.

Beweis Anfang

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb C = \left(\mathbb R ^2,+ ,\cdot \right) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} z= x+ iy \end{eqnarray*}$ u. $\begin{eqnarray*} x,y,z\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , woraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \left(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}+ \left(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + x_3 \\ y_1 + y_2 + y_3 \\ z_1 + z_2 + z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + x_3 \\ y_1 + y_2 + y_3 \\ z_1 + z_2 + z_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beweis Ende

Falls das totaler Quatsch is, dann haltet euch bitte nicht zurück und knallts mir um die Ohren Freude

Freude

19.10.2011, 12:40

Pascal95

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Zitat:

Original von Synys
Für $\begin{eqnarray*} \mathbb C = \left(\mathbb R ^2,+ ,\cdot \right) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} z= x+ iy \end{eqnarray*}$ u. $\begin{eqnarray*} x,y,\color{red}z\color{black}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Seit wann ist denn $\begin{eqnarray*} z=x+iy\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Mache es am besten so:
$\begin{eqnarray*} x,y,z & \in & \mathbb C\text{ wobei, }\\ \\ x &=& (x_1,x_2)= x_1+x_2 i\text{ mit } x_1,x_2\in \mathbb R<br /> y &=& (y_1,y_2)= y_1+y_2 i\text{ mit } y_1,y_2\in \mathbb R<br /> z &=& (z_1,z_2)= z_1+z_2 i\text{ mit } z_1,z_2\in \mathbb R<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

19.10.2011, 12:43

Synys

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Ups, da hat sich wohl ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen. Stimmt natürlich nicht, was da steht. Natürlich sind nur $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

EDIT: um genau zu sein muss die komplette z-Reihe entfernt werden... Dazu hat mich Latex wohl verleitet.

19.10.2011, 12:53

Pascal95

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Ok, jetzt sieht das auch sinnvoller aus (wenn man sich die letzte Zeile wegdenkt).

Habt ihr komplexe Zahlen wirklich in dieser Schreibweise gehabt ?
Platzsparender geht es einfach mit $\begin{eqnarray*} z=(a,b) \end{eqnarray*}$ in der Zeilenform.

Allerdings ist die Schreibweise hier sogar vorteilhaft, da man die komponentenweise Addition besser durchführen kann.

Wir haben also drei komplexe Zahlen:

$\begin{eqnarray*} z_1 &=& \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} <br /> z_2 &=& \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} <br /> z_3 &=& \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun möchten wir zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (z_1+z_2)+z_3 = z_1+(z_2+z_3) \end{eqnarray*}$ .

Kannst du das vielleicht noch einmal ordentlich aufschreiben...

Die Idee ist ja richtig, nur noch nicht zu Ende durchgeführt, da du das Assoziativgesetz der reellen Zahlen noch nicht verwendet hast.

19.10.2011, 13:03

Synys

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Reicht es nicht zu schreiben, dass
$\begin{eqnarray*} z_1 + z_2 = \begin{pmatrix} x_1 + x_2\\ y_1 + y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Bzw. $\begin{eqnarray*} (z_1+z_2)+z_3 = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + x_3\\ y_1 + y_2 + y_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.10.2011, 13:38

Synys

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Da ich leider meinen vorigen Beitrag nicht (mehr) editieren kann, hab ich hier zusätzlich was:
Kommutativgesetz d. Addition:
$\begin{eqnarray*} x+y=y+x \end{eqnarray*}$

Beweis Anfang

Mit $\begin{eqnarray*} z_1, z_2 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} z_1+z_2=z_2+z_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=z_1+z_2+(-z_2)+(-z_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -z_1-z_2=-z_2-z_1 | *(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1+z_2=z_2+z_1 \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} z_1=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beweis Ende

19.10.2011, 14:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von Synys
Reicht es nicht zu schreiben, dass
$\begin{eqnarray*} z_1 + z_2 = \begin{pmatrix} x_1 + x_2\\ y_1 + y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Bzw. $\begin{eqnarray*} (z_1+z_2)+z_3 = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 + x_3\\ y_1 + y_2 + y_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Etwas ausführlicher kann es durchaus sein. Etwa so:

$\begin{eqnarray*} (z_1+z_2)+z_3 = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 + x_2) + x_3 \\ (y_1 + y_2) + y_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + (x_2 + x_3) \\ y_1 + (y_2 + y_3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 + x_3 \\ y_2 + y_3 \end{pmatrix} = z_1 + (z_2 + z_3) \end{eqnarray*}$

Dann kann man auch erkennen, wo du das Assoziativgesetzt aus R verwendet hast.

Analog würde ich das mit dem Kommutativgesetz machen.

19.10.2011, 14:29

Synys

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Gut, so hab ich das jetzt auch schon geschrieben. Ich stell mir dabei nur immer die Frage ob das dann auch wirklich ein Beweis ist. Klar, ich setz da was ein, schreib es um und am Ende steht im Prinzip x=x, aber dennoch wirkt das irgendwie schwammig.

19.10.2011, 14:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Synys
Klar, ich setz da was ein, schreib es um und am Ende steht im Prinzip x=x

Nein, am Ende steht da x = y, wobei x = (z1 + z2) + z3 ist und y = z1 + (z2 + z3) ist.

19.10.2011, 14:51

Synys

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Ja, natürlich sorry, mein ich doch. Wenn das aber alles ist, das ich machen muss, dann wäre es für das Kommutativgesetz doch: (?)

$\begin{eqnarray*} z_1+z_2=z_2+z_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z_1+z_2= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2\\ y_1 + y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x_2 + x_1\\ y_2 + y_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =z_2+z_1 \end{eqnarray*}$

19.10.2011, 14:53

klarsoweit

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Richtig.

Freude

19.10.2011, 15:08

Synys

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Alles klar.
Nun kommt das Nullelement, sprich, $\begin{eqnarray*} z+0=z \end{eqnarray*}$ aber was ist die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?
Die 1 ist ja $\begin{eqnarray*} 1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist dann die 0: $\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Dann wäre $\begin{eqnarray*} z+0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} x + 0\\ y + 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =z \end{eqnarray*}$

19.10.2011, 15:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Synys
ist dann die 0: $\begin{eqnarray*} 0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Richtig. Und die Rechnung ist auch ok.

19.10.2011, 15:58

Synys

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Dann nehm ich an, dass sich das bei der Existenz des Negativen gleich verhält(?), aber nun zur Multiplikation.

Assoziativgesetz:

$\begin{eqnarray*} (z_1*z_2)*z_3=z_1*(z_2*z_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (z_1*z_2)*z_3= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (x_1 * x_2) * x_3 \\ (y_1 * y_2) * y_3 \end{pmatrix}= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (x_1x_2+y_1y_2)*x_3 \\ (x_1y_2-y_1x_2)*y_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aber was jetzt? Etwa: $\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} x_3(x_1x_2+y_1y_2)+x_3(x_1x_2+y_1y_2) \\ y_3(x_1y_2-y_1x_2)-y_3(x_1y_2-y_1x_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

19.10.2011, 16:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von Synys
Dann nehm ich an, dass sich das bei der Existenz des Negativen gleich verhält(?),

Du meinst wohl "Existenz des Inversen"?

Zitat:

Original von Synys
$\begin{eqnarray*} (z_1*z_2)*z_3= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (x_1 * x_2) * x_3 \\ (y_1 * y_2) * y_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

19.10.2011, 16:10

Synys

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Zitat:

Original von klarsoweit
Du meinst wohl "Existenz des Inversen"?

Ja genau, steht auf meinem Blatt halt so.

Zitat:

Original von klarsoweit

Das ist falsch.

Stimmt, das springt gleich zum nächsten Schritt, aber mal abgesehen davon ist das Nachfolgende richtig?

20.10.2011, 09:03

klarsoweit

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Auf was soll ich mich da beziehen? verwirrt

verwirrt

Poste lieber mal die korrigierte Rechnung.

20.10.2011, 18:05

Synys

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Hat sich mittlerweile erledigt, aber danke für die Hilfe! Freude

Freude

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