Falscher Beweis durch vollst. Induktion |
| 18.10.2011, 14:13 | gi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Falscher Beweis durch vollst. Induktion Hallo, Habe meine ersten paar Beispiele für Mathematik auf der Uni alle gelöst, nur dieses bereitet mir etwas Schwierigkeiten: Wo steckt der Fehler im Induktions- Beweis? der folgenden Behauptung: "Ist in einer Gruppe von Personen eine Person blond, so sind alle blond." Beweis: a) n = 1: Hier stimmt die Behauptung trivialerweise. b) Die Behauptung gelte für Gruppen der Größe n. Nun sei von n + 1 Personen eine blond. Betrachte man diese Person zusammen mit n ? 1 weiteren. Dann sind nach Induktionsannahme diese n ? 1 Personen auch blond. Folglich ist in der Gruppe dieser n ? 1 Personen zusammen mit der noch nicht betrachteten Personen wieder wenigstens eine blond, woraus folgt, daß auch diese letzte Person blond sein muß. Ich weiß nicht recht wie ich das angehen soll! Meine Ideen: Meine Überlegung war, dass beim Rückschließen von n+1 auf die Gruppe von n-1 Personen ja eine Person vernachlässigt wird - aber ist das der Grund warum der "Beweis" falsch ist? Oder ist die Induktionsvoraussetzung über eine Person für das schließen auf eine Menge von Personen garnicht gültig? |
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| 18.10.2011, 14:20 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun sei von 2 Personen eine blond, Betrachte man diese Person zusammen mit 0 weiteren... PS: Dein Fragezeichen soll wohl immer ein Minus sein. |
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| 18.10.2011, 14:22 | Black | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum nimmst du hier überhaupt vollst. Induktion? Induktion benutzt man in der Regel um eine Behauptung zu beweisen - einen Widerspruch kann man deutlich einfacher auf anderem Wege zeigen |
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| 18.10.2011, 14:22 | gi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, sorry, da hat mir die Zeichenkodierung wohl einen Streich gespielt, die ? sollen - sein ! Hier nocheinmal in korrekter Form: Wo steckt der Fehler im Induktions- Beweis? der folgenden Behauptung: "Ist in einer Gruppe von Personen eine Person blond, so sind alle blond." Beweis: a) n = 1: Hier stimmt die Behauptung trivialerweise. b) Die Behauptung gelte für Gruppen der Größe n. Nun sei von n + 1 Personen eine blond. Betrachte man diese Person zusammen mit n - 1 weiteren. Dann sind nach Induktionsannahme diese n - 1 Personen auch blond. Folglich ist in der Gruppe dieser n - 1 Personen zusammen mit der noch nicht betrachteten Personen wieder wenigstens eine blond, woraus folgt, daß auch diese letzte Person blond sein muß. |
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| 18.10.2011, 14:24 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Black: Es geht hier nicht darum, diese absurde Aussage zu widerlegen, sondern sich zu überlegen, wo in diesem (auf den ersten Blick für viele richtigen) Induktionsbeweis der Fehler steckt. |
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| 18.10.2011, 14:38 | gi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
heißt das die induktion wäre korrekt, wäre der induktionsanfang bei n=3? |
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| 18.10.2011, 14:44 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Induktion wäre sogar korrekt, wäre der Induktionsanfang bei n=2. Aber mit n=2 wird bei dieser Aussage nunmal offensichtlich kein Induktionsanfang gelingen. 
Ist dir denn jetzt klar, wo der Haken genau ist? |
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| 18.10.2011, 14:53 | gi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt, da warn die finger beim schreiben wohl schneller als das hirn
zusammengefasst: mit induktionsanfang 1 ist die induktionsbehauptung, wie du geschrieben hast, offensichtlich falsch - verschiebe ich den anfang auf 2 ist der induktionsanfang schon nonsense. danke jedenfalls! |
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| 18.10.2011, 14:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich will ja nicht nachhaken, es ist ja deine Sache. Aber ich habe das Gefühl, dass du die Punchline noch nicht ganz entdeckt hast. Der Satz, den ich geposted habe, ist nämlich erstmal nur ein kleiner Hinweis, auf das was wirklich falsch ist. Erstmal ist das mit der 0 ja noch kein Problem. Erst später im Text wird das ein wirkliches Problem. Du musst nur noch finden, wo genau. |
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| 18.10.2011, 15:04 | gi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
"Folglich ist in der Gruppe dieser n - 1 Personen zusammen mit der noch nicht betrachteten Personen wieder wenigstens eine blond, woraus folgt, daß auch diese letzte Person blond sein muß." Ausgehend von dem Satz den du gepostet hast, würde da von einer Gruppe von 0 Personen gesprochen werden - die Aussage, dass von 0 Personen 1 blond ist, ist offensichtlich falsch bzw. inkorrekt. Meintest du das oder bin ich tatsächlich auf dem Holzweg? |
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| 18.10.2011, 15:06 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bist auf jeden Fall richtig. Aber tatsächlcih wird ja von einer Gruppe von genau einer Person gesprochen. Nämlich die Gruppe dieser n-1=0 Personen und die noch nicht betrachtete Person. Also ist eine Person in dieser Gruppe. Bis hierhin eigentlich noch ok. Aber nun ist die Aussage Quatsch, dass in dieser Gruppe wenigstens eine Person blond ist. Denn in dieser Gruppe ist ja lediglich die noch nicht betrachtete Person. Über die wissen wir ja gar nichts. |
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| 18.10.2011, 15:17 | gi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, also war meine ursprüngliche Idee aus meinem ersten Post garnicht so weit entfernt - über die beim Rückschließen "ausgelassene" Person wissen wir nichts, und die Behauptung sie ist blond ist einfach aus der Luft gegriffen und keinesfalls bewiesen. |
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