Fehler beim Intervallhalbierungsverfahren

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M.0.O. Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler beim Intervallhalbierungsverfahren
Meine Frage:
Erstmal: Ich denke nur es ist ein numerisches Problem. (bei mir Höhere Mathematik und daher alles vermischt)

Es ist bekannt, dass sich bei einer stetigen Funktion im Intervall (-1,0) eine Nullstelle befindet. (genau eine falls das wichtig ist).

des weiteren ist bekannt, dass f(-1)*f(0)<0

Frage war: bestimmen sie wieviele Iterationsschritte höchstens mit dem Intervallhalbierungsverfahren notwendig sind, damit eine Lösung gefunden wird, deren Abweichung von der tatsächlichen Nullstelle weniger als 1/512 beträgt.

Meine Ideen:
Im Bisektionsverfahren wird ja c=(1/2)(a+b) genommen.

Das Verfahren startet mit den Grenzen a= -1 und b=0.

Also ich dachte mir, da es sich um ein offenes Intervall handelt, dass der Abstand im ersten Schritt kleiner als 1/2 sein müsste. c_1=-1/2

Im nächsten Iterationsschritt würde das Intervall wieder halbiert, wobei die ersetzte Grenze (=-1/2) als Lösung ausgeschlossen wurde, da ansonsten im ersten SChritt abgebrochen würde. Somit müsste c_2 bereits weniger als 1/4 von der tatsächlichen Nullstelle abweichen.

Somit lässt sich |c_n - x_0| < 1/2^n entwickeln.

Da 1/512=1/2^9 ist der Abstand im neunten Iterationsschritt kleiner als 1/512.

Liege ich damit richtig?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehler beim Intervallhalbierungsverfahren
Zitat:
Original von M.0.O.

Da 1/512=1/2^9 ist der Abstand im neunten Iterationsschritt kleiner als 1/512.

Liege ich damit richtig?


Ja. Prost

Viele Grüße
Steffen
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich müsste man genau spezifizieren, was man als "Lösung" ansieht:

Wenn dies die Angabe eines Wertes ist, der weniger als 1/512 von der Nullstelle entfernt sein soll, dann genügt bereits der Mittelpunkt des nach dem achten Iterationsschritt erhaltenen Intervalls: Der Funktionswert an dieser Mittelpunktstelle muss dann nämlich gar nicht mehr berechnet werden, um sicher diese Abstandseigenschaft zu haben.

Aber vielleicht ist das zu spitzfindig betrachtet. Augenzwinkern
M.0.O. Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke schon, dass der 9. Iterationsschritt nötig ist, denn diesen Intervallmittelpunkt muss man ja noch berechnen und da das vom Verfahren gemacht werden soll, braucht man denke ich den 9. Schritt. Mein Problem ist, dass genau diese Aufgabe in meiner letzten HöMa II-Klausur war, und ich diese mit 9 gelöst habe.

Nun wurde mir aber sowohl bei der Korrektur als auch nach Beanstandung bei der Korrektureinsicht gesagt, dass 10 Iterationsschritte benötigt würden und auch ein E-Mail-Austausch mit meinem Dozenten hat da nicht weitergeholfen.

Danke für eure Antworten
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