quadratische Funktionen

03.01.2007, 13:06

Medi

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quadratische Funktionen

Hallo zusammen,

ich benötige dringend eure Hilfe, denn ich bin eine totale Matheniete.

Ich weiß, wie man den Scheitelpunkt einer quadr. Funktion abliest und ihn in die Scheitelpunktsform einträgt.
Aber wie man dann zur endgültigen Form kommt weiß ich nicht!

Beispiel:
(-3 ; -2)
--> f(x)=(x+3)²-2
--> f(x)=x²+6x+9-2
--> f(x)=x²+6x+7

Wie um alles in der Welt kommt man auf die 6x?
x² ist klar, 9 auch und die -2 wird übernommen und dann mit der 9 verrechnet. Aber die 6x ...?

--------------------------------------

Und noch eine Frage. So funktioniert das Ablesen. Aber wie ist das, wenn man diese Funktion gegeben hat und die Parabel einzeichnen soll? Muss man das dann genauso zurück rechnen oder gibt es da einen einfacheren Weg?

Ich bitte um schnelle Antworten!
Liebe Grüße und danke schon mal,
Medi

03.01.2007, 13:09

Leopold

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$\begin{eqnarray*} (x+3)^2 = (x+3) \cdot (x+3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9 \end{eqnarray*}$

Das Ganze nennt man binomische Formel.

03.01.2007, 13:12

Medi

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Hallo Leopold,

achso ... danke schön.
Aber kann man das nicht einfacher ausklammern?
Mir ist neu, dass man, um eine Gleichung aus dem Scheitelpunkt zu errechnen, die binomische Formel braucht.

Liebe Grüße,
Medi

03.01.2007, 13:18

Leopold

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Die Aufgabe lautet hier doch offenbar (auch wenn du das nicht direkt sagst, sondern man es sich mehr oder weniger zusammenreimen muß), aus der Scheitelform die Normalform herzustellen. Und wenn man ein Binom - das ist so etwas von der Art $\begin{eqnarray*} \left( \ldots \pm \ldots \right)^2 \end{eqnarray*}$ - auflösen will, stößt man zwangsläufig auf die binomische Formel. Diese ist unabhängig von dem ganzen Verfahren gültig, sie ist in jeder Situation, in der ein Binom aufgelöst werden muß, anzuwenden. Das ist auch kein Gesetz, das zum 31.12.2006 ausgelaufen ist wie die 16-%-Mehrwertsteuer, sondern eine zwangsläufige Folge aus den mathematischen Naturgesetzen, die sich um das Ausmultiplizieren von Summen drehen: "jeder mit jedem".

03.01.2007, 13:23

Medi

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Na ja, die Aufgabe ist im Prinzip, dass ich die Gleichung aus dem Koordinatensytsem ablesen soll.
Da hab ich eben den Scheitelpunkt mit $\begin{eqnarray*} (-3;-2) \end{eqnarray*}$ abgelesen und wollt dann mit der Formel $\begin{eqnarray*} f(x)=(x+d)²+e \end{eqnarray*}$ die Gleichung aufstellen.

Gut, dann danke für deine Antwort. Ich hab immer damit Probleme, zu erkennen, wie ich vorgehen muss ...

Könntest du vielleicht auch auf die 2. Frage eingehen? Das wäre nett smile

smile

Liebe Grüße,
Medi

03.01.2007, 13:27

Leopold

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Mit Hilfe einer Wertetabelle kannst du die Parabel immer zeichnen. Allerdings weißt du dann über den Scheitel der Parabel nicht von vorneherein Bescheid. Daher ist es oft günstiger, erst die Scheitelform herzustellen. Sie erleichert zudem das Berechnen der Funktionswerte, da man nur einmal multiplizieren (genauer: quadrieren) muß.

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03.01.2007, 13:52

Medi

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Also wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=x²+6x+7 \end{eqnarray*}$ habe und sie zeichnen möchte, muss ich sie zu einer Scheitelpunktsform unwandeln, in dem ich ...?
Wie genau müsste ich da vorgehen, wenn ich das ganze rückwärts machen will?
Könntest du mir da die Schritte genauer erklären?

Liebe Grüße,
Medi

03.01.2007, 14:05

system-agent

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entweder du rechnest die nullstellen und dann die mitte davon, was aber schnell unangenehm werden kann, oder mit quadratischer ergänzung, dh. du versuchst die binomische formel "rückwärts" anzuwenden.

bin. formel:
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+6x+7 \end{eqnarray*}$
die zahl vom mittelteil musste nun durch zwei teilen, da sie in der formel mit 2 multipliziert wurde: ergibt sich also die 3.
nun schreib mal brav dazu und um den wert nicht zu ändern, gleich wieder abziehen:
$\begin{eqnarray*} x^2+6x+3-3+7 \end{eqnarray*}$
in der formel steht das letzte glied, also das b, quadriert da, also machen wir das auch lieber mal:
$\begin{eqnarray*} x^2+6x+9-9+7 \end{eqnarray*}$
und nun zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} x^2+6x+9-9+7=(x^2+6x+9)-9+7=(x-3)^2-9+7=(x+3)^2-2 \end{eqnarray*}$

alles klar ? smile

smile

03.01.2007, 14:17

Medi

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Ohaaa, ja also ... ich denke ich konnte durchblicken.

Das Problem ist nur:
1. Auf sowas würde ich in der Arbeit niemals von allein kommen, bzw. würde tausend Fehler reinbasteln. Vor allem, wenn das ganze etwas anders aussieht.
2. Bei meiner ganz tollen rücksichtsvollen Mathelehrerin herrscht akuter Zeitmangel in den Arbeiten. Für sowas brauch ich so extrem lange ...

Vielen Dank für eure Mühe!
Liebe Grüße,
Medi

------
edit: ganz so klar ist es wohl doch nicht ...

Du hast gesagt, da das letzte Glied ² steht, müssen wir das auch tun. Und dann hast du $\begin{eqnarray*} +9-9 \end{eqnarray*}$ geschrieben.
Aber das letzte Glied (also b²) müsste doch die 7 sein??

Und noch etwas, was ich nicht verstehe:
Wieso wird aus $\begin{eqnarray*} (x²+6x+9)-9+7 \end{eqnarray*}$ das hier: $\begin{eqnarray*} (x-3)²-9+7 \end{eqnarray*}$ ? Wie komme ich denn darauf?

03.01.2007, 15:37

Beleg

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Das ist einfach ein Schreibfehler. Im nächsten SChritt steht es richtig:
$\begin{eqnarray*} (x^2+6x+9)-9+7=(x+3)^2-9+7 \end{eqnarray*}$

Man addiert +9 und -9 damit man die erste binomische Formel anwenden kann.

03.01.2007, 15:46

Medi

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Sorry Leute, ich verstehs nicht ...

03.01.2007, 16:00

Leopold

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Deine Probleme liegen im Elementarbereich.

Hier und hier kannst du üben.

Erst wenn du diese Techniken beherrschst, solltest du zu den Aufgaben der Scheitelpunktform quadratischer Funktionen zurückkehren.

04.01.2007, 12:18

Medi

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Danke schön, für die Übungsseiten.
Auflösen von Klammern kann ich eigentlich und Faktorisieren geht auch einigermaßen.
Aber mit der anderen Seite komm ich gar nicht klar. Mit dem Scheitelpunkt das.

Ich schreibe bald eine Klassenarbeit, über:
Quadratische Funktionen/Lineare Funktionen/Betragsfunktionen
Eigenschaften (Monotonie, Unendlich, Scheitelpunkt, Nullstellen, ...)
Umstellen/Auflösen von Gleichungen
Sinus/Kosinus
Potenzfunktionen
Substitution
Polynomdivision

Ich weiß nicht, wie ich das schaffen soll ... unglücklich

unglücklich

04.01.2007, 16:29

system-agent

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edit:
--> blödsinn <-- bitte löschen !

06.01.2007, 14:54

Medi

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Also, wenn ich jetzt diese Gleichung in der Arbeit bekommen würde:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x²+6x+9-2 \end{eqnarray*}$

Könnte ich die dann nicht einfach durch ablesen der Werte in ein Koordinatensystem eintragen?
Muss man da unbedingt rechnen?

06.01.2007, 14:55

marci_

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was für werte willst du denn ablesen?
ich versteh dich nicht ganz...
erklär mal bitte!

normalerweise erstellst du eine wertetabelle und zeichnest daraufhin das schaubild der funktion...

06.01.2007, 15:20

Medi

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Na ich würd da gern den Scheitelpunkt ablesen ...

06.01.2007, 15:31

marci_

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dann bring es auf scheitelform =)

06.01.2007, 15:50

Medi

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und wie?

06.01.2007, 16:31

f(x)

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Das Stichwort lautet hier: Quadratische Ergänzung

06.01.2007, 16:46

Medi

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Geht das denn nicht ohne dieses Zeugs? Ich bastel da immer Fehler rein ...

06.01.2007, 17:03

f(x)

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Ich wüsste nicht, wie man es rechnerisch einfacher und schneller lösen kann.
Versuch es doch mal!
Es ist doch gar nicht so schwer.

06.01.2007, 18:02

Medi

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Zitat:

Original von system-agent
bin. formel:
$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+6x+7 \end{eqnarray*}$
die zahl vom mittelteil musste nun durch zwei teilen, da sie in der formel mit 2 multipliziert wurde: ergibt sich also die 3.
nun schreib mal brav dazu und um den wert nicht zu ändern, gleich wieder abziehen:
$\begin{eqnarray*} x^2+6x+3-3+7 \end{eqnarray*}$
in der formel steht das letzte glied, also das b, quadriert da, also machen wir das auch lieber mal:
$\begin{eqnarray*} x^2+6x+9-9+7 \end{eqnarray*}$
und nun zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} x^2+6x+9-9+7=(x^2+6x+9)-9+7=(x-3)^2-9+7=(x+3)^2-2 \end{eqnarray*}$

Hier versteh ich aber einiges nicht!
Zum Beispiel:
Aus der $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ wird eine $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ , weil da in der binomischen Formel steht $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} 2*3 = 6 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} a = 3 \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ wird sofort wieder abgezogen.
Und das $\begin{eqnarray*} +b \end{eqnarray*}$ ist dann also die $\begin{eqnarray*} +7 \end{eqnarray*}$
Aber dann müsste an: $\begin{eqnarray*} x²+6x+3-3+7 \end{eqnarray*}$ doch noch $\begin{eqnarray*} +7² \end{eqnarray*}$ dran! Sonst fehlt doch das letzte Glied!

Und was ich auch nicht verstehe, ist:
Das letzte Glied $\begin{eqnarray*} b² \end{eqnarray*}$ bezieht sich auf einmal auf $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und deswegen wird sie zur $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ ?! Aber die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ?!

Ich blick da nicht durch!

06.01.2007, 18:06

marci_

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du kannst den scheitel auch anders ausrechnen:
setzte die funktion gleich null...
du erhältst beide nullstellen und bestimmst dann die mitte zwischen den beiden nullstellen, da hier der scheitel liegt...nun hast du den x-wert des scheitelpunktes!!
du kannst dann den wert in f(x) einsetzen und erhältst die y-koordinate des scheitelpunktes!

06.01.2007, 18:16

Medi

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Da gibts nur ein Problem:

Bei $\begin{eqnarray*} -3 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gehts nicht weiter, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist ein Annäherungswert und hier würde man normalerweile "keine reelle Lösung" drunter schreiben ..

--> Kann jemand auf mein Problem da oben, mit der quadratischen Ergänzung, eingehen, bitte? *liebschau*

06.01.2007, 19:02

marci_

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wenn du stur weiterrechnest und dann die mitte ermittelst kommst du auf genau das gleiche ergebnis (ist sogar ne schöne zahl) wie mit der quadratischen ergänzung!

07.01.2007, 11:00

Medi

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Und wie ermittel ich die Mitte?

Hab jetz
$\begin{eqnarray*} x1= -1,585 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=-4,414 \end{eqnarray*}$

07.01.2007, 14:16

marci_

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x²+6x+9-2 \end{eqnarray*}$
also: $\begin{eqnarray*} f(x)=x²+6x+7 \end{eqnarray*}$
da hab ich die nullstellen:
$\begin{eqnarray*} x_1=3+2 \sqrt {2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=3-2 \sqrt {2} \end{eqnarray*}$

um den x wert des scheitelpunktes zu erhalten rechnest du: $\begin{eqnarray*} \frac {x_1+x_2} {2}=-3 \end{eqnarray*}$

07.01.2007, 14:32

Medi

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Das versteh ich nicht so ganz.

$\begin{eqnarray*} 3+2 \sgrt {3} \end{eqnarray*}$ ??
Wieso die 2?

07.01.2007, 14:39

marci_

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unter der wurzel steht normal eine 8...dann habe ich teilweise wurzel gezogen...
zeig doch mal deine rechnung bitte!

07.01.2007, 15:09

Medi

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$\begin{eqnarray*} x²+6x+7 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{6}{2} \pm \sqrt{(\frac{6}{2})²-7 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3 \pm \sqrt{9-7} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -3 \pm \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und dann?

$\begin{eqnarray*} \frac{x1+x2}{2} -3 \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2} -3 \end{eqnarray*}$ ??

07.01.2007, 15:32

marci_

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sry, hab falsch ausgeklammert...
deine nullstelle stimmt schon!
aber was ist $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2007, 15:35

Medi

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Na entweder ich rechne das noch aus und dann sinds so dumme Kommastellen (-1,585 und -4,414) oder ich muss mit $\begin{eqnarray*} + \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ rechnen, oder?!

07.01.2007, 15:48

RS

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Aber deine Nullstellen lauten ja $\begin{eqnarray*} -3\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Also musst du dann für x1 und x2 auch den ganzen Term einsetzen.

07.01.2007, 16:00

marci_

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genau das ist es!
und lass $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ bitte einfach so stehen!

07.01.2007, 18:46

Medi

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Also so?

$\begin{eqnarray*} \frac{-3 + \sqrt{2} + (-3) - \sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

07.01.2007, 21:24

Bjoern1982

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Ja, das stimmt Medi smile

smile

Das kann man aber noch schön vereinfachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber gib dir doch einen Ruck und mach es mit quadratischer Ergänzung, geht doch wirklich ruck zuck...

x²+6x+7

Jetzt schreibst du erstmal die ersten beiden Summanden genauso dahin

---> x²+6x

Jetzt nimmst du die Hälfte des Faktors vor dem x, quadrierst ihn und ziehst ihn direkt wieder ab, wodurch du eine künstliche null erzeugst, denn 3²-3²=0

----> x²+6x+3²-3²

Jetzt noch die +7 von oben einfach dahinter setzen denn sonst wäre es ja nicht mehr derselbe Term

----> x²+6x+3²-3²+7

Jetzt fasst man die ersten drei Summanden mittels einer binomischen Formel zusammen

----> (x+3)² -3²+7

Den Rest jetzt nur noch zusammenrechnen

----> (x+3)² -2

Der Scheitelpunkt lautet also ....

Mit etwas Übung kriegst du das bestimmt schnell rein, nur Mut smile

smile

Gruß Björn

08.01.2007, 17:55

Medi

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Hallo zusammen,

also nachdem ich jetzt die Ergänzung noch mal haarklein von Björn und meiner Nachhilfe erklärt bekommen habe, hab ichs doch wirklich verstanden^^

Vielen Dank all denen, die sich hier so ne Mühe mit mir gegeben haben smile

smile

Liebe Grüße,
Medi

08.01.2007, 18:04

Bjoern1982

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Freut mich dass du es verstanden hast Big Laugh

Big Laugh

Mal so am Rande...

Versuche ruhig auch mal Aufgaben, wo vor dem x² noch ein Faktor steht.
Z.B. 3x²-24x+53

Da kommt dann noch ein Schritt dazu, nämlich Ausklammern.

Denn nur wenn vor dem x² kein Faktor mehr steht kann man mit der quadratischen Ergänzung loslegen.

Wenn du magst kannst du das Beispiel ja mal durchrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

08.01.2007, 18:22

Medi

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Das ist lieb von dir smile

smile

Solche Aufgaben hatten wir auch schon.
Da muss ich die 3 erstmal nur ausklammern und am Ende die 3 vor die Klammer schreiben und die Zahl nach der Klammer mal 3 nehmen!

LG,
Medi

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