Numerik, Ausgleichsproblem, Krylovraum

19.10.2011, 10:06	cornik2	Auf diesen Beitrag antworten »
Numerik, Ausgleichsproblem, Krylovraum Meine Frage: Folgende Aufgabe muss ich lösen: Sei A reguläre Matrix (rang(A)=n) mit paarweise verschied. Eigenwerten $\begin{eqnarray} \lambda 1,...,\lambda n \end{eqnarray}$ und sei b Element von $\begin{eqnarray} R^{n} \end{eqnarray}$ . a) Wie ist der k-te Krylov-Raum Uk(A,b) definiert? b) Es gelte nun $\begin{eqnarray} A^{-1}b \end{eqnarray}$ Element von Uk(A,b) für ein k aus $\begin{eqnarray} \left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray}$ . Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} A^{-1}b \end{eqnarray}$ eine Linearkombination von höchstens k Eigenvektoren der Matrix A ist. Meine Ideen: Teil a) ist einfach: der k-te Krylovraum sieht folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} Uk(A,b)=spann\left\{b,Ab,...,A^{k-1}b \right\} \end{eqnarray}$ . Zu b) $\begin{eqnarray} A^{-1}b \end{eqnarray}$ lässt sich mit Teil a) so darstellen: $\begin{eqnarray} A^{-1}b=\sum\limits_{i=0}^{k-1} \gamma_{i}A^{i}b \end{eqnarray}$ (Linearkombination der Vekoren aus Uk(A,b). Weiter weiß ich nicht.

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