Vier Punkte symmetrisch an allgemeinem Kreis (Funktionentheorie)

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Alita Auf diesen Beitrag antworten »
Vier Punkte symmetrisch an allgemeinem Kreis (Funktionentheorie)
Meine Frage:
Es geht um eine Aufgabe aus der Vorlesung "Funktionentheorie".
Man hat vier komplexe Zahlen gegeben, z1, z1*, z2 und z2*. Die Frage ist nun, welche Bedingungen man an diese Zahlen stellen muss, damit diese äquivalent dazu ist, dass es einen allgemeinen Kreis (Kreis auf der Riemannsphäre) gibt, sodass z1 zu z1* und z2 zu z2* symmetrisch ist.

Meine Ideen:
Weit bin ich mit der Aufgabe noch nicht gekommen, einzige Idee ist, die Bedingung für Spiegelpunkte (das ist das selbe wie symmetrische Punkte) zu verwenden:

z und z* sind genau dann Spiegelpunkte bezüglich des Kreises K (Kreis um z0 mit Radius R), wenn



Jetzt könnte man die zi einsetzen für i=1,2 und Gleichsetzen, weil ja der selbe Kreis verwendet werden soll und R und z0 damit gleich sind.





Allerdings müsste man jetzt irgendwie das z0 isolieren, damit man eine Bedingung sieht, die erfüllt werden muss, sodass ein Kreis existiert, oder?
Ich weiß leider nicht ganz, wie das Ergebnis auszusehen hat und bin dementsprechen ratlos, wie ich überhaupt umformen soll.

Ich würde mich über eine baldige Antwort freuen.
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bitte, den Doppelpost zu entschuldigen, ich habe schon massive Probleme bei der Eingabe gehabt. Eingeloggt kann ich nicht einmal mehr auf Beiträge antworten, geschweige meinen vorhandenen editieren / löschen.

Ich hoffe, es hilft mir trotzdem jemand bei der Lösung Augenzwinkern

Eine weitere Idee wäre übrigens eine Verschiebung der Punkte. Wenn z0 = 0 gelten würde, hätte man ja eine hübsche Bedingung. Nur müsste man dann noch die entsprechende Verschiebung aller Punkte um den Vektor t mit einbeziehen...
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das mit der Verschiebung ist glaub ich Käse, denn mit "-z0" passiert ja nichts anderes....
Ich bräuchte wirklich dringend Hilfe, ich habe gar keine Idee unglücklich Hat vielleicht jemand zumindest eine Idee, was ich noch versuche könnte?
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht etwas mit dem Doppelverhältnis? Ich musste gerade für eine andere Aufgabe zeigen, dass



gilt genau dann wenn z* und z Spiegelpunkte am von zi erzeugten Kreis sind. DV steht für das Doppelverhältnis, quer soll die Komplexkonjugierte sein.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das andere (doppelte) Thema habe ich geschlossen, kein Problem.
__________________________

Ich habe mich mit der Aufgabe eine Zeit lang beschäftigt, sie ist ja interessant, bin aber bis jetzt nicht auf eine befriedigende Lösung gekommen (wenn z* die zu z konjugiert komplexe Zahl bedeuten soll).

mY+
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem z* ist eine ungünstige Bezeichnung, ich habe sie allerdings aus der Aufgabe übernommen. z* ist einfach ein weiterer Punkt neben z, hier mit der Eigenschaft, dass er am Kreis K symmetrisch zu z ist.
 
 
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

und bei mir steht das für die komplexe Konjugation, da ich den Latex-Befehl dafür gerade nicht mehr wusste Augenzwinkern
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

(selbst wenn ich eingeloggt bin, werde ich kurz vor Abschicken wieder als Gast angezeigt. Von dem Problem habe ich hier schonmal irgendwo gelesen glaube ich...)

Ein weiterer Gedankenanstoß wäre die Überführung der vier Punkte mittels einer Möbiustransformation, sodass einfacher zu erkennen ist, ob und wenn ja, zu was sie symmetrisch sind.

Es gibt sicher eine Transformation, die z1 in i, z1* in -i und z2 in 0 überführt (ist bekannt, 6 Punkte-Regel oder so)
Damit liegen z1 und z1* schonmal symmetrisch zur reellen Achse (klar, sind komplex Konjugiert = Spiegelung an der reellen Achse). Um z2* symmetrisch zu z2 zu haben, müsste dieser Punkt bei landen. Da ich auch weiß, dass Möbiustransformationen Symmetrien erhalten (sind a und b symmetrisch am Kreis K, dann sind auch T(a) und T(b) symmetrisch an T(K) mit T beliebige Möbiustransformation), könnte ich daraus schließen, dass der gewünschte Kreis existiert, sobald , nämlich

Jetzt habe ich aber das komische Gefühl, dass ich es mir hier zu einfach mache unglücklich
Lege ich nicht durch meine Möbiustransformation für die ersten drei Punkte genau fest, welchen Kreis ich eigentlich suche? Schränke ich mich da nicht zu sehr ein?
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut, dass mit dem ist Käse, z2 müsste identisch z2* sein... aber ich hoffe, die Idee ist klar smile
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Schon blöd, wenn man nicht editieren kann... man könnte z2 beispielsweise auf i+1 oder so schicken, dann müsste z2 durch die Möbiustrafo auf -i+1 landen, um symmetrisch zur reellen Achse zu sein. Mit diesen Werten sollte die Idee jetzt hoffentlich einleuchten Hammer
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

einmal zu der Bedeutung von diesem Sternchen, das ist die Spiegelung am Kreis (Wiki), denke ich.

Abakus smile
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir ist das Sternchen wirklich nur die Kennzeichnung für einen anderen Punkt, so wie gelegentlich auch " ' " verwendet wird. z1* gehört nur inhaltlich zu z1, ist aber nicht irgendeine Umwandlung davon.

Auf meinem Aufgabenzettel steht auch "Seien z, z* aus C"
Falls bei meiner Recherche irgendwo das Sternchen für etwas anderes stand, ist mir das entgangen. Aber auch in meinen Überlegungen ist das eigentlich keine Umformung.
Alita Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute, der Fehler in meiner letzten Überlegung ist, dass die Punkte z1 und z1* nicht nur symmetrisch an der reellen Achse liegen, sondern auch mehrere Kreise gefunden werden können, für die das gilt. Beliebig viele sogar, solange z1 und z1* auf dem Kreisrand liegen. Damit ist der zu z2 symmetrische Punkt nicht so eindeutig festgelegt, wie ich es hier beschrieben habe, sondern es gibt auch für z2* noch unendlich viele Möglichkeiten.

Ist der Beweis mit der Möbiustransformation noch zu retten oder ist er damit erledigt?
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach was solls, wen mein Monolog hier stört, muss ihn ja nicht lesen Big Laugh

Ich greife meinen Gedanken auf und überführe die gegebenen Punkte folgendermaßen mit einer Möbiustransformation T:

z1 --> 0
z1* --> unendlich
z2 --> T(z2)

Der einzige Kreis, an dem T(z1) und T(z1*) hier noch symmetrisch sein können, ist ein Kreis um 0, denn unendlich ist nur symmetrisch zum Mittelpunkt eines Kreises.
Wenn ich nun einen Kreis mit beliebigem Radius R um T(z1)=0 wähle, dann weiß ich durch den Abstand |T(z2)| vom Mittelpunkt sofort, in welchem Abstand T(z2*) liegen muss, damit letztere beide Punkte symmetrisch am selben Kreis sind (benutze hier die "Symmetrieformel" aus dem allerersten Beitrag, wo das Produkt der betragsmäßigen Abstände vom Mittelpunkt gleich dem Quadrat des Radius sein muss). Und wenn T(z2*) diese Bedingung für keinen Radius R erfüllt (ist das überhaupt möglich? Mir fällt gerade kein Beispiel ein), dann können auch z2 und z2* nicht symmetrisch liegen, denn T ist symmetrieerhaltend.

Für mich klingt das fast nach einer Lösung, auch wenn es natürlich noch an exakten Gleichungen mangelt. Hat dazu jemand noch eine Meinung, sonst schreibe ich das jetzt nämlich so auf Augenzwinkern
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe leider (von Anfang an) ein Kriterium für Spiegelpunkte an einem Kreis vergessen. Die durch die beiden Punkte führende Gerade muss auch den Mittelpunkt enthalten, damit dürften die Fälle eingeschränkt werden. Weitere Gedanken vielleicht später, ich muss erstmal eine Funktionentheorie-Klausur schreiben Augenzwinkern
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vier Punkte symmetrisch an allgemeinem Kreis (Funktionentheorie)
Zitat:
Original von Alita
Man hat vier komplexe Zahlen gegeben, z1, z1*, z2 und z2*. Die Frage ist nun, welche Bedingungen man an diese Zahlen stellen muss, damit diese äquivalent dazu ist, dass es einen allgemeinen Kreis (Kreis auf der Riemannsphäre) gibt, sodass z1 zu z1* und z2 zu z2* symmetrisch ist.


Also du hast 4 Punkte und die komplexe Ebene, zusätzlich mit dem Punkt Unendlich dazu. Der allgemeine Kreis und die geforderte Symmetrie dazu ist das Spiegeln am Kreis, denke ich weiterhin (s. Link oben).

Wenn du also einen Kreis mit Mittelpunkt w (kompl. Zahl) und Radius r hast, kannst du den via in den Einheitskreis verschieben. Dafür hast du aber eine eindeutige Bedingung, was für die Punkte und ihre Spiegelpunkte dann in Bezug auf den Einheitskreis gelten muss (der Spiegelpunkt ist Kehrwert der komplex-konjugierten). Lässt sich damit nichts anfangen?

Dazu kommt noch eine Fallunterscheidung, wenn einer der Punkte gleich Unendlich ist, denke ich.

Abakus smile
Alita2.0 Auf diesen Beitrag antworten »

Möglicherweise habe ich etwas missverstanden, bei den Symmetrien geht es tatsächlich um die Inversion am Kreis.

Im Übrigen war die richtige Lösung in meinem Monolog tatsächlich mehr oder weniger dabei.

Im Wesentlichen werden die vier Punkte mittels einer Möbiustransformation folgendermaßen übertrage:

z1 --> 0
z1* --> unendlich
z2 --> 1

z2* muss nach der Transformation nun auf der reellen Achse liegen, damit ein "Spiegelkreis" nach und damit auch vor der Transformation existiert.
(Im übrigen musste nach einer veränderten Aufgabenstellung, die mir leider nicht mehr zur Verfügung steht, z2* auf die POSITIVE reelle Achse abgebildet werden. Der Grund ist mir noch nicht ganz klar, vielleicht habe ich die Symmetrie immernoch nicht ganz verstanden....muss der Mittelpunkt des Kreises AUßERHALB der Verbindlungslinie von a und b auf der durch beide Punkte gehende Geraden liegen? Dann ergibt das Sinn, allerdings fehlt mir eine entsprechende Bemerkung in (unserer) Symmetriedefinition)
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möbius-Transformation bildet Kreise wieder auf Kreise und Spiegelpunkte wieder auf Spiegelpunkte ab. 0 und Unendlich sind auch Spiegelpunkte bei einem echten Kreis. Und das wird hier dann ausgenutzt.

Natürlich lassen sich viele (äquivalente) Kriterien formulieren ggf.

Abakus smile
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