Komplexe Zahlen- Lösung einer Ungleichung

19.10.2011, 19:20

Floppy2 11

Komplexe Zahlen- Lösung einer Ungleichung

Meine Frage:
Komplexe Zahlen- Lösung einer Ungleichung,

Guten Abend,

für die folgende Ungleichung- im Bereich der komplexen Zahlen, soll die Lösungsmenge berechnet werden.

$\begin{eqnarray*} 1 \leq |z - 1| \leq 4 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hierzu mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq |z - 1| \leq 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \leq |x - 1 + y * i| \leq 4 \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung: $\begin{eqnarray*} |x - 1 + y * i| = \sqrt{x^{2} - 2 * x + 1 + y^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \leq x^{2} - 2 * x + 1 + y^{2} \leq 16 \end{eqnarray*}$

Bis hierher. Jedoch weiß Ich nicht, wie man ab hier weiter vorgehen muss, geschweige denn, wie im Bereich der komplexen Zahlen.

Beziehungsweiße, stimmt mein Ansatz bis hierher und wie müsste es weitergehen?

Vielen Dank für Eure Hilfe und Eure Zeit.

19.10.2011, 19:40

Floppy2 11

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/push- Hat denn niemand eine Idee?

19.10.2011, 19:42

Bjoern1982

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Die Klammer aufzulösen war hier nicht hilfreich, denn lässt du (x-1)²+y² stehen, dann sollte es eigentlich klingeln. Idee!

19.10.2011, 20:10

Floppy2 11

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Ok.

$\begin{eqnarray*} 1 \leq (x + 1)²+ y² \leq 16 \end{eqnarray*}$

Jedoch ist mein Problem, das Ich noch nie mit einer Ungleichung gerechnet habe, in der 2 * <, >, ... vorkamen.

Durch weiteres probieren vermute Ich, das es so weiter gehen müsste:

1 - (x - 1)² <= y² <= 16 - (x - 1)²

$\begin{eqnarray*} = \sqrt{1 - (x - 1)²} <= y <= \sqrt{16 - (x - 1)²} \end{eqnarray*}$

Jedoch sieht man das diese Lösung keinen Sinn ergibt, wenn man sie sich zeichnen lässt.

19.10.2011, 20:22

Dopap

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es ist nicht verboten, vor dem Rechnen zu denken ( ein Gefühl für das Problem zu bekommen ). Wenn du die 1 aus dem Original wegnimmst steht da:

Alle Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ deren Betrag zwischen 1 und 4 liegt. Die Lösungsmenge ist ohne Rechnung offensichtlich. Zum Schluss noch die 1 korrigieren.
---------
nur als Bemerkung gedacht

19.10.2011, 20:33

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1 \leq (x + 1)²+ y² \leq 16 \end{eqnarray*}$

Und jetzt denk mal an deinen vorigen Thread wo eine Kreisgleichung vorkam...

19.10.2011, 20:57

Floppy2 11

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Vielen Dank, die zwei Hinweiße haben mir gut geholfen die richtige Lösung zu finden. Ich bin mir jetzt sehr sicher, das diese so aussieht.

http://s7.directupload.net/images/111019/4x8ad5et.png

Jedoch muss ich sagen, das Ich diese trozdem rechnerisch bestimmt habe, da Ich mir nicht sicher war, wie sich die "-1" genau auf das Ergebnis auswirken würde.

19.10.2011, 21:19

Bjoern1982

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Zitat:

Jedoch muss ich sagen, das Ich diese trozdem rechnerisch bestimmt habe, da Ich mir nicht sicher war, wie sich die "-1" genau auf das Ergebnis auswirken würde.

Was meinst du damit ? verwirrt

19.10.2011, 21:20

Dopap

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Zitat:

Original von Floppy2 11
..... da Ich mir nicht sicher war, wie sich die "-1" genau auf das Ergebnis auswirken würde.

Das ist einfache Koordinatentransformation.

wird die unabhängige Variable x durch (x-a) [ $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ] ersetzt, dann ist der Graf um a nach rechts verschoben, oder das Koordinatensystem um a nach links.

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