Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen

19.10.2011, 21:01

Mike1988

Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen

Meine Frage:
Guten Abend!

Wir haben heute folgende Aufgabe gestellt bekommen:

Man bestimme alle s (Element aus den reelen Zahlen), für die folgendes Gleichungssystem:

x+y-z=3
x-y+3*z=4
x+y+(s^2-10)*z=s

a) Keine Lösung,
b) eine eindeutige Lösung, und
c) beliebig viele Lösungen

besitzt!

Meine Ideen:
Ich bin nun wie folgt vorgegangen:

1) Umwandlung der Gleichungen in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y & -z & 3 \\ x & -y & 3*z & 4 \\ x & y & (a^2-10)*z & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2) Matrix auf Zeilen-Stufen-Form gebracht und den Rang bestimmt (r = 3)
3) Aus der Matrix wiederum die (vereinfachten) Gleichungen abgelesen, umgeformt und nach den Variablen x, z, z aufgelöst!

Ergebniss:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{7*s+19}{2*s+6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \frac{-s+1}{2*s+6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{s+3} \end{eqnarray*}$

Diese Teilergebnisse sollten richtig sein (mit Kollegen sowie dem Taschenrechner abgeglichen)!!

So nun fehlt mir der Ansatz, wie ich die Fragen a) b) c) mathematisch in meine Gleichungen integrieren kann, bzw, wie die Fragen mathematisch formuliert werden müssen, damit ich für s die richtigen Werte bekomme!

Danke schon mal für eure Hilfe und noch einen schönen Abend!!

Mfg

19.10.2011, 21:05

mike1988

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RE: Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen
Die Matrix muss natürlich folgend lauten - sorry:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y & -z & 3 \\ x & -y & 3*z & 4 \\ x & y & (s^2-10)*z & s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.10.2011, 09:08

klarsoweit

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RE: Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen
Auch das ist es nicht. Üblicherweise enthält eine Matrix nur die Koeffizienten und nicht die Variablen. Außerdem hängt der Rang der Matrix von dem Wert von s ab. Mir wäre es lieber, du würdest mal die Matrix in Zeilenstufenform hinschreiben.

20.10.2011, 11:36

Deppi

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So als kleine Hilfe nochmal;

die Matrix hat die Form:

\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & |3 \\ ... & ... & ... &...\\ ... & ... & ...&... \end{pmatrix}

Und jetzt bringste das ganze auf Zeilenstufenform und guckst mal wie das "s" aussehen muss damit das Gleichungssystem:

a) Keine Lösung,
b) eine eindeutige Lösung, und
c) beliebig viele Lösungen

22.10.2011, 08:02

mike1988

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RE: Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen
Guten Morgen!

Danke für eure Antworten!

Die Matrix in Zeilenstufenform hat bei mir folgende gestallt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 &(a^2-10)&| a \\ 0 & -2 & (13-a^2) | -a+4 \\ 0 & 0 & (9-a^2) | -a+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Welche Bedingungen kann ich nun nutzen um die Gleichungen für a) b) & c) zu formulieren??

DANKE,

Mfg

22.10.2011, 12:25

Deppi

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Poste hier mal die Matrix so wie du sie aufgestellt hast.

Und dann versuchmal das "a" bzw. "s" (unterschiedliche Notation...) erstmal NICHT in jede Zeile einzuarbeiten.

Sondern forme die Matrix durch Elementare Zeilenumformungen so um, dass erstmal nur in der letzten Zeile das "s" bzw "a" vorkommt. Nimm vielleicht die erste Zeile, deren Vielfache du auf die Anderen addierst/subtrahierst....

Und dann guckst du dir die Gleichung mit der variablen etwas genauer an, kannst du nämlich leicht vereinfachen....

Und du musst noch nachschauen (im Skript oder schlauem Buch), wann ein GS

a) Keine Lösung,
b) eine eindeutige Lösung, und
c) beliebig viele Lösungen
....

22.10.2011, 13:54

Mike1988

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RE: Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen
Also nochmals von vorne:

1) Angabe:

x+y-z=3
x-y+3*z=4
x+y+(a^2-10)*z=a

2) Umwandlung in eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & (a^2-10) & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3) Zeilen-Stufen-Form dieser Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & -2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & (a^2-9) & (a-3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

4) Vereinfachung bzw. Umformung wiederum in ein Gleichungssystem:

I) $\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{a+3} \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} y = (\frac{2}{a+3})-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
III) $\begin{eqnarray*} x = \frac{7*a+19}{2*a+6} \end{eqnarray*}$

5) Bedingungen zum Lösen dieser Gleichungen:

a) Gleichung ergibt keine Lösung, wenn als Ergebniss eine falsche Aussage auftritt!
b) Gleichung ergibt beliebig viele Lösungen, wenn als Lösung eine wahre Aussage auftritt!
c) Gleichung ergibt genau eine Lösung, wenn als ERgebniss ein Wert auftritt!

Aber wie kann ich diese Bedingungen nun mathematisch formulieren bzw. stimmen die einzelnen Schritte bis hir her???

DANKE, Mfg

22.10.2011, 14:04

Deppi

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Ja, die Umformung ist richtig.

Jetzt guckste mal die dritte Zeile an, wie könnteste den Ausdruck $\begin{eqnarray*} a^2-9 \end{eqnarray*}$

denn als Produkt schreiben (in Hinblick auf die "leichte Vereinfachung"....)

22.10.2011, 14:10

Deppi

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dein z stimmt so nicht. überprüf das nochmal. da ist nichts mit bruch...

Wenn du es dann so da stehen hast, kannst du ja mal überlegen welche werte für das s zu deinen bedingungen führen

22.10.2011, 14:55

Mike1988

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Den Ausdurck $\begin{eqnarray*} a^2-9 \end{eqnarray*}$ kann ich als Produkt $\begin{eqnarray*} (a-3)*(a+3) \end{eqnarray*}$ schreiben! Wenn ich aus der Matrix die letzte Zeile in eine Gleichung umwandle steht da:
$\begin{eqnarray*} (a^{2}-9)*z = (a-3) \end{eqnarray*}$ , umgeformt auf z: $\begin{eqnarray*} z = \frac{(a-3)}{a^{2}-9} \end{eqnarray*}$ , als Produkt geschrieben: $\begin{eqnarray*} z = \frac{(a-3)}{((a-3)*(a+3)} \end{eqnarray*}$ und gekürtzt: $\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{a+3} \end{eqnarray*}$

Was soll an dem z nicht stimmen?? Die Transformation auf Zeile-Stufen-Form stimmt doch, oder??

Wenn ich dann die erhaltenen Gleichungen in die Ursprüngliche (I) einsetze bekomme ich 6*a = 6*a also eine wahre Aussage, alsso beliebig viele Lösungen!! Nur habe ich dabei für a noch nicht mal einen Wert eingesetzt! Jetz bin ich verwirrt!!

22.10.2011, 22:31

klarsoweit

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RE: Lösen von Gleichungssystemen mittels Matrizen

Zitat:

Original von Mike1988
I) $\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{a+3} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nur mit Einschränkung. Erstmal muß man sich um die Lösbarkeit als solches Gedanken machen. Und die hängt davon ab, ob die letzte Zeile eine Nullzeile ist oder nicht. Das solltest du erstmal untersuchen.

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