lin. unabhängig

20.10.2011, 12:05

Sinnlos

lin. unabhängig

Meine Frage:
Hiho,
Ich möchte folgenden Aussage beweisen
Sei v1,...,vn eine Familie lin. unabhängiger Vektoren, dann ist auch v1+vn,...,vn lin. unabhängig.

Meine Ideen:
Ich hab nun einen Beweis ausgestellt und wollte nur erfragen ob das richtig und möglich ist.

$\begin{eqnarray*} \alpha_{1}\cdot (v_{1}+v_{n})+\sum\limits_{k=2}^n \alpha_{k}\cdot v_{k} =0 \end{eqnarray*}$
wegen Distributivgesetz $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha_{1}\cdot v_{1}+\alpha_{1}\cdot v_{n}+\sum\limits_{k=2}^n \alpha_{k}\cdot v_{k}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum\limits_{k=1}^n \alpha_{k}\cdot v_{k} =- \alpha_{1}\cdot v_{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha_{1}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_{1}+v_{n},...,v_{n} \end{eqnarray*}$ lin. unabhängig

20.10.2011, 14:02

galoisseinbruder

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Bei der vorletzen Folgerung fehlt mir persönlich ein Zwischenschritt.
Kannst Du etwas ausführlicher Begründen warum $\begin{eqnarray*} \alpha_1=0 \end{eqnarray*}$ gilt?
Am Anfang des Studiums sollten du bei allen Schritten begründen warum sie gelten.

20.10.2011, 14:33

Sinnlos

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Ja gut,
$\begin{eqnarray*} \alpha_{1} v_{1},..., \alpha_{n} v_{n}=0 \Rightarrow \alpha_{i} =0 \forall i=1,...n, also gilt auch :\alpha_{1} v_{1},..., \alpha_{n-1} v_{n-1},\alpha_{1} a_{n}=0\Rightarrow \alpha_{i} =0 \forall i=1,...,n-1 ,insbesonder: \alpha_{1} =0 \end{eqnarray*}$

so würde der beweis aber formuliert werden?

20.10.2011, 14:38

galoisseinbruder

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Vermute mal beim letzten Post ist was beim TeXen schiefgelaufen.
So wie´s dasteht hat´s mit linearer Unabhängigkeit nicht viel zu tun.

20.10.2011, 15:48

Sinnlos

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Oh,
ja da hab ich quatsch geschrieben
ich meinte
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_{k} v_{k}=0 \Rightarrow \alpha_{1}=...=\alpha_{n}=0, also auch \sum\limits_{k=1}^{n-1} \alpha_{k} v_{n-1} + \alpha_{1} v_{n}=0 \Rightarrow \alpha_{1}=...=\alpha_{n-1}=0, insbesondere: \alpha_{1}=0 \end{eqnarray*}$

20.10.2011, 16:11

ollie3

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hallo sinnlos,
habe das hier alles mitverfolgt, glaube du bist jetzt auf eine falsche fährte gelangt, so wie du das machst, geht das nicht, du kannst nicht bei dem
linear-unabhängig-beweis einfach ein basisvektor weniger nehmen, dann ändert sich alles.
Ich würde dir vorschlagen, das über die alfa-s zumachen, die anders zusammenzufassen, dann funktioniert der beweis. smile

gruss ollie3

20.10.2011, 16:31

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Sinnlos
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n-1} \alpha_{k} v_{k} + \alpha_{1} v_{n}=0 \Rightarrow \alpha_{1}=...=\alpha_{n-1}=0 \text{, insbesondere: }\alpha_{1}=0 \end{eqnarray*}$

Das ist so zwar richtig, die Situation ist aber eine leicht andere:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1} \alpha_{k} v_{k} +\left( \alpha_{1} + \alpha _n \right) v_{n}=0 \end{eqnarray*}$

20.10.2011, 17:03

Sinnlos

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Da aber doch $\begin{eqnarray*} v_{1},...., v_{n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind ist es doch egal wie das alpha vor dem $\begin{eqnarray*} v_{n} \end{eqnarray*}$ aussieht, es muss doch trotzdem immer gleich 0 sein?
und da alpha1 wegen v1 gleich 0 sein muss gilt $\begin{eqnarray*} \alpha_{1} + \alpha _n = 0+0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1} \alpha_{k} v_{k} +\left( \alpha_{1} + \alpha _n \right) v_{n}=0 \end{eqnarray*}$
Danke, damit hab ich kapiert das ich $\begin{eqnarray*} \alpha _n v_{n} \end{eqnarray*}$ vergessen hatte.

das ist so jetzt in Ordnung, oder?

20.10.2011, 17:09

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Sinnlos
Da aber doch $\begin{eqnarray*} v_{1},...., v_{n} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind ist es doch egal wie das alpha vor dem $\begin{eqnarray*} v_{n} \end{eqnarray*}$ aussieht, es muss doch trotzdem immer gleich 0 sein?
und da alpha1 wegen v1 gleich 0 sein muss gilt $\begin{eqnarray*} \alpha_{1} + \alpha _n = 0+0=0 \end{eqnarray*}$

Genau das ist der entscheidende Punkt: Da $\begin{eqnarray*} \alpha_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left( \alpha_1 +\alpha_n \right)=0 \end{eqnarray*}$ , aufgrund der lin. unabh. der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} \alpha_n= (\alpha_1+\alpha_n)-\alpha_1=0 \end{eqnarray*}$

20.10.2011, 17:12

Sinnlos

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Dann bedank ich mich mal für die Hilfe...
ich war ja auf dem richtigen weg aber gut das du es nochmal ausführlich wolltest da wirds dann auch exakter.

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