Irrationalität beweisen

20.10.2011, 17:26	WernerHeisenberg	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationalität beweisen Hallo, ich bin gerade erst in der ersten Woche meines Physik-Studiums und habe folgende Aufgabe bekommen. Zeigen Sie, falls x irrational ist und a, b, c, d rationale Zahlen mit ad ungleich bc sind, so ist $\begin{eqnarray} z = \frac{ax + b}{cx +d} \end{eqnarray}$ ebenfalls irrational. Ich habe durch Umformung, lediglich herausgefunden, dass $\begin{eqnarray} x = \frac{b - zd}{zc - a} \end{eqnarray}$ Die linke Seite ist laut Definition irrational, d.h. der Bruch rechts muss irrational sein. Aber ich kann doch nicht einfach sagen, dass z irrational sein muss, da a/b/c/d rational sind und sonst keine Irrationalität "entstehen" könnte, oder!?
20.10.2011, 17:31	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst einen Beweis durch Widerspruch starten: Nimm an, $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ wäre rational. Dann ist $\begin{eqnarray} z\cdot d \end{eqnarray}$ das Produkt zweier rationaler Zahlen ...
20.10.2011, 17:54	WernerHeisenberg	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann wäre $\begin{eqnarray} z d = \frac{d (ax + b)}{cx + d} = \frac{dax + db}{cx + d} \end{eqnarray*}$ aber ich weiß nicht, wie mir das weiterhelfen soll...
21.10.2011, 01:24	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, nein, das meine ich nicht. Ich wollte eigentlich auf folgendes hinweisen: $\begin{eqnarray} x = \frac{b - \color{blue}zd}{zc - a} \end{eqnarray}$ Wir sind ja hier: Annahme, die wir zum Widerspruch führen wollen: $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ rational und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ rational. Dann gilt wegen der Abgeschlossenheit in $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} z\in\mathbb Q\land d\in\mathbb Q\quad \left(z \text{ und }q\text{ rational} \right)\quad \Rightarrow\quad z\cdot d\in\mathbb Q\quad\left(z\cdot d\text{ rational} \right) \end{eqnarray}$ . So gehst du dann sukzessive vor...
21.10.2011, 19:25	WernerHeisenberg	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, verstehe. Dasselbe gilt dann selbstverständlich auch für $\begin{eqnarray} zc \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b, a \end{eqnarray}$ sind laut Vorraussetzung rational. Somit muss der Bruch selbst auch rational sein, was der Grundvorraussetzung, der Irrationalität von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray*}$ widerspricht. Hab ich etwas übersehen oder ist der Beweis dadurch bereits abgeschlossen?
21.10.2011, 20:57	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es, ja. Man müsste das natürlich jetzt ganz genau schrittweise erläutern, wie man zeigt, dass die rechte Seite der Gleichung rational ist. Die Idee ist es nun mal eben, alles abzuklappern, bis man den ganzen Bruch als rational bezeichnen kann. Den Fachbegriff, den du hier verwenden solltest, habe ich auch schon genannt: Man nutzt die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ aus.
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