Teilmenge oder Element? Wahr/falsch

20.10.2011, 20:38

Santus80

Teilmenge oder Element? Wahr/falsch

Hallo,

ich verzweifle an einer Aufgabe. Ich habe zwar eine Lösung, aber so ganz bin ich mir da nicht sicher. Ich wäre froh, wenn ihr mal meine Lösung begutachten könntet.

Entscheiden Sie, ob die Aussagen für eine Menge wahr oder falsch sind.

a) $\begin{eqnarray*} \emptyset \in 2^{M} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq 2^{M} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} M \in 2^{M} \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} M \subseteq 2^{M} \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} \left\{ \emptyset\right\} \in 2^{\emptyset} \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} \left\{ \emptyset\right\} \subseteq 2^{\emptyset} \end{eqnarray*}$

also meine Lösung:

a) richtig
b) falsch, da Element in der Potenzmenge
c)richtig, da Element in der Potenzmenge
d) falsch
e) falsch, da hier der Linke Ausdruck als Menge betrachtet wird und eingeklammert ist
f) richtig

Viele Grüße
Santus

20.10.2011, 20:52

Pascal95

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Es ist wohl $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (?).

Mache dir über (b) nochmals Gedanken.
Es ist gefragt, ob die leere Menge eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ ist.

Schaue dir ggf. die Definition der Teilmenge an.

20.10.2011, 20:59

Santus80

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Danke Pascal, für deine Antwort. Ja, meine Antwort zu b) ist falsch, die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Aber wie sieht es bei den anderen Fragen aus. Wo ist der Unterschied zwischen der leeren und der geklammerten leeren Menge?

Ich wäre dir echt dankbar, wenn du mir diese Fragen vielleicht auch noch beantworten könntest.

20.10.2011, 20:59

pseudo-nym

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RE: Teilmenge oder Element? Wahr/falsch
Da du keine ganzen Sätze formuliert hast, sind deine Begründungen schwer nachzuvollziehen.

Zitat:

Original von Santus80
b) falsch, da Element in der Potenzmenge

Hier scheint die Argumentation zu sein, dass aus $\begin{eqnarray*} a \in 2^M \end{eqnarray*}$ folgt dass $\begin{eqnarray*} a \nsubseteq 2^M \end{eqnarray*}$ gilt. Um zu sehen, dass das falsch ist muss du nur die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ betrachten.

Zitat:

Original von Santus80
e) falsch, da hier der Linke Ausdruck als Menge betrachtet wird und eingeklammert ist

Mengen können Mengen als Elemente enthalten. (In der Tat ist die formale Mengenlehre so aufgebaut, dass alle nichtleeren Mengen NUR Mengen enthalten.)

20.10.2011, 21:13

Santus80

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Jetzt verstehe ich leider nur noch Bahnhof, tut mir leid.

Also ist die Leere Menge Element und Teilmenge der Potenzmenge von M. Folglich sind die Aussagen a) und b) richtig.

Weiterhin ist die leere Menge Element und Menge der Potenzmenge der leeren Menge. Folglich sind die Aussagen e) unf f) auch richtig?

Aber ich verstehe leider nicht, was der Unterschied zwischen einer geklammerten und ungeklammerten leeren Menge ist.

20.10.2011, 21:24

pseudo-nym

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Was ich mit meinem anfängilichen Post sagen wollte, ist dass die Antworten auf die Fragen eher nebensächlich sind. Was zählt sind richtige Begründungen.
Vermeide also wildes Behaupten und versuche zu jeder der Aussagen a) bis f) Begründung in ganzen Sätzen zu formulieren.

Nützlich sind dabei folgende Tatsachen:
Für jede Menge M gilt: $\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq M \end{eqnarray*}$ .
Für alle Mengen N und M gilt. $\begin{eqnarray*} N \subseteq M \rightarrow N \in 2^M \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aber ich verstehe leider nicht, was der Unterschied zwischen einer geklammerten und ungeklammerten leeren Menge ist.

Nun eine Menge ist eindeutig durch ihre Elemente bestimmt.
$\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ enthält keine Elemente.
$\begin{eqnarray*} \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ enthält genau ein Element, nämlich $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ enthalten also nicht die selben Elemente und sind somit nicht gleich.

20.10.2011, 21:43

Santus80

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Es tut mir leid, wenn es so verstanden wurde, als hätte ich etwas wild behauptet. Ich habe mir darüber schon einen Kopf gemacht.

Beispielsweise habe ich erst einmal angenommen, dass M = {2,3} sei. die Potenzmenge von M wäre dann {leere Menge, {2},{3},{2,3}=M}. Nun ist also die leere Menge Element dieser, aber auch jeder Potenzmenge, da ich ja den Inhalt der Menge beliebig verändern kann, die Potenzmenge wäre stets Element.
Nun hatten wir geklärt, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist, was ich bei der Lösung nicht berücksichtigt habe.
c) Muss nun auch stimmen, wie oben gezeigt, kommt M als Element in der Potenzmenge von M vor.

d) M kommt als Element und nicht als Teilmenge in 2^M vor, damit ist diese Aussage falsch.

{leere Menge} wird als Menge betrachtet und nicht als Element, daher ist e) falsch und f) richtig.

20.10.2011, 21:56

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Santus80
Nun ist also die leere Menge Element dieser, aber auch jeder Potenzmenge, da ich ja den Inhalt der Menge beliebig verändern kann, die Potenzmenge wäre stets Element.

Warum ist das so? (Verwende nur die Tatsachen die ich im letzten Post angegeben habe.)

Zitat:

Original von Santus80
c) Muss nun auch stimmen, wie oben gezeigt, kommt M als Element in der Potenzmenge von M vor.

Warum?

Zitat:

Original von Santus80
d) M kommt als Element und nicht als Teilmenge in 2^M vor, damit ist diese Aussage falsch.

Scheinbar hast du mein Gegenbeispiel nicht betrachtet. Deswegen nochmal etwas ausführlicher. Ermittle alle Elemente von $\begin{eqnarray*} 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ und finde das a für das gilt $\begin{eqnarray*} a \in 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \subseteq 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ (Es kommen nur entweder $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \{\emptyset \} \end{eqnarray*}$ in Frage.)

Zitat:

Original von Santus80
{leere Menge} wird als Menge betrachtet und nicht als Element, daher ist e) falsch und f) richtig.

Dass diese Unterscheidung bedeutungslos ist, sollte nach Betrachtung meines Gegenbeispiels von oben klarer werden.

20.10.2011, 22:39

Santus80

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Zitat:

Warum ist das so? (Verwende nur die Tatsachen die ich im letzten Post angegeben habe.)

1. $\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq M \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \emptyset \in 2^{M} \end{eqnarray*}$

Zu c) $\begin{eqnarray*} M \subseteq M \end{eqnarray*}$ daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} M \in 2^{M} \end{eqnarray*}$ .

Nun möchte ich mal deine Hilfsfrage beantworten:
Ermittle alle Elemente von $\begin{eqnarray*} 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ und finde das a für das gilt $\begin{eqnarray*} a \in 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \subseteq 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ (Es kommen nur entweder $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \{\emptyset \} \end{eqnarray*}$ in Frage.)

Also es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2^{\{\emptyset \}} =\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \subseteq 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset \in 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ .

Aus der letzten Folgerung leite ich ab, dass auch $\begin{eqnarray*} M \subseteq 2^{M} \end{eqnarray*}$ , also ist Aussage d) richtig.

Ich glaube ich habe es verstanden, vielen Dank @pseudo-nym.

20.10.2011, 22:55

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Santus80
1. $\begin{eqnarray*} \emptyset \subseteq M \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \emptyset \in 2^{M} \end{eqnarray*}$

Zu c) $\begin{eqnarray*} M \subseteq M \end{eqnarray*}$ daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} M \in 2^{M} \end{eqnarray*}$ .

Das ist korrekt.

Zitat:

Original von Santus80
Also es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2^{\{\emptyset \}} =\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist falsch. Du hast doch selbst gefolgert, dass $\begin{eqnarray*} M \in 2^{M} \end{eqnarray*}$ gilt.
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} \{\emptyset \} \end{eqnarray*}$ kein Element von $\begin{eqnarray*} \{\emptyset \} \end{eqnarray*}$ .
Du musst also $\begin{eqnarray*} \{\emptyset \} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ hinzufügen.
$\begin{eqnarray*} 2^{\{\emptyset \}} =\{\emptyset, \{ \emptyset \}\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Santus80
Also ist $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \subseteq 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset \in 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ .

Ich wollte, dass du ein Element von $\begin{eqnarray*} 2^{\{\emptyset \}} \end{eqnarray*}$ findest, welches eine Teilmenge der selben Menge ist. Für a zwei verschiedene Mengen einzusetzen ist nicht im Sinne der Aufgabenstellung.

Zitat:

Original von Santus80
Aus der letzten Folgerung leite ich ab, dass auch $\begin{eqnarray*} M \subseteq 2^{M} \end{eqnarray*}$ , [...]

Das verstehe ich nicht.

21.10.2011, 16:30

Santus80

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Nein, das ist falsch: $\begin{eqnarray*} M \subseteq 2^{M} \end{eqnarray*}$ .
Es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2^{\emptyset}=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ . und daher $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \subseteq 2^{\emptyset } \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \emptyset \in 2^{\emptyset } \end{eqnarray*}$ . Also ist Aussage e) falsch.

21.10.2011, 18:44

pseudo-nym

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Es wäre einfacher wenn du bei einer Aufgabe bleiben würdest.

Zitat:

Original von Santus80
Es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2^{\emptyset}=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ . und daher $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \subseteq 2^{\emptyset } \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \emptyset \in 2^{\emptyset } \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt alles, aber was das mit Aufgabe e) zu tun haben soll ist mir schleierhaft.

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