Matrixgleichung

21.10.2011, 00:45

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

Matrixgleichung

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} X=E \end{eqnarray*}$ Lösung der Matrizengleichung $\begin{eqnarray*} 2X-2E=XA^{T}-A^{T} \end{eqnarray*}$ ist.

Habe die üblichen Schritte erledigt und stehe nun kurz vor'm Ende, komme aber jetzt nicht wirklich weiter.

Meine Ideen:
Meine Umformung:

$\begin{eqnarray*} 2X-2E=XA^{T}-A^{T} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2X-XA^{T}=-A^{T}+ 2E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X(2E-A^{T})=-A^{T}+2E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=(-A^{T}+2E)(2E-A^{T})^{-1} \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt Ausmultipliziere, komme ich zunächst auf den ersten Term mit
$\begin{eqnarray*} X=(-2A^{T}+(A^{T})^{2}+4E-2A^{T})^{-1} \end{eqnarray*}$ und dann auf
$\begin{eqnarray*} X=((A^{T})^{2}+4E-4A^{T})^{-1} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle komme ich nicht weiter.
Habe ich mich vertan? Wie muss ich jetzt weiter machen?

21.10.2011, 00:52

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Also das erste Problem ist schonmal: Woher weißt du denn überhaupt, dass die Matrix
$\begin{eqnarray*} 2E-A^t \end{eqnarray*}$
invertierbar ist?

Wenn wir annehmen würden, dass sie das ist, ist dein Ausmultiplizieren Käse (sorry ;D), weil bei der rechten Klammer erst das Inverse gebildet werden muss. Du hast das beim Ausmultiplizieren offenbar komplett ignoriert.
Statt dessen: Wenn wir kurz $\begin{eqnarray*} M=2E-A^t \end{eqnarray*}$ setzen und uns die drittletzte Formelzeile nochmal anschauen, dann steht da MM^-1...

ABER da wir eh die Invertierbarkeit von $\begin{eqnarray*} 2E-A^t \end{eqnarray*}$ nicht voraussetzen können, bleibt da wohl nur ein komplett anderer Ansatz. Tipp: Um zu zeigen, dass etwas Vorgegebenes eine Gleichung löst, kann man dieses Vorgegebene auch einfach einsetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.10.2011, 00:58

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

A ist invertierbar.
Aber Elemente von A sind für das Umformen nicht wichtig.

Und ich verstehe deinen Weg nicht so wirklich ...

21.10.2011, 01:00

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

A ist invertierbar.

Das heißt aber noch lange nicht, dass auch $\begin{eqnarray*} 2E-A^t \end{eqnarray*}$ invertierbar ist!

EDIT: Ich muss mich korrigeren vom ersten Post: Du hast beim Ausmultiplizieren so getan, als wäre das Inverse von $\begin{eqnarray*} (2E-A^t)(2E-A^t) \end{eqnarray*}$ gemeint. Aber nur die rechte Matrix wird invertiert. Deshalb ist dein Ausmultiplizieren falsch!

21.10.2011, 01:03

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dustin

Zitat:

A ist invertierbar.

Das heißt aber noch lange nicht, dass auch $\begin{eqnarray*} 2E-A^t \end{eqnarray*}$ invertierbar ist!

Ist auch invertierbar

21.10.2011, 01:06

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann lies nochmal meine Begründung, warum dein Ausmultiplizieren falsch ist (hab mich im letzten Post noch korrigiert)

Anzeige

21.10.2011, 01:07

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} X=(-A^{T}+2E)(2E-A^{T})^{-1} \end{eqnarray*}$
Das ist aber soweit richtig?

21.10.2011, 01:15

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Yop.
Jetzt nenn mal $\begin{eqnarray*} M:=2E-A^t \end{eqnarray*}$
dann steht da?

21.10.2011, 01:32

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh okay, jetzt hab ich's verstanden geschockt

geschockt

Danke

Gott

Hab den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen Hammer

Hammer

21.10.2011, 01:41

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern

Na dann kannste ja beruhigt schlafen gehen. Gute Nacht!

21.10.2011, 03:00

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

NEUE AUFGABE.
(Kann keine neue Frage stellen, technische Probleme?)

Meine Frage:
Weisen Sie nach, dass $\begin{eqnarray*} X=A_{0}^{T}(E-A_{2})^{-1} \end{eqnarray*}$
Lösung der folgenden Matrizengleichung
$\begin{eqnarray*} X-A_{0}^{T} =\left[\left(X\cdot A_{2} \right)^{-1} \right]^{-1} \end{eqnarray*}$
ist.

Meine Ideen:
Ich wollte zunächst auf der rechten Seite invertieren.
$\begin{eqnarray*} X-A_{0}^{T} =\left(A_{2}\cdot X \right)^{-1} \end{eqnarray*}$
Dann X auf eine Seite bringen.
$\begin{eqnarray*} X-\left(A_{2}\cdot X \right)^{-1} =A_{0}^{T} \end{eqnarray*}$

Und nun .. keine Ahnung Erstaunt2

Erstaunt2

21.10.2011, 08:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Ich wollte zunächst auf der rechten Seite invertieren.
$\begin{eqnarray*} X-A_{0}^{T} =\left(A_{2}\cdot X \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Was hast du denn da gerechnet? verwirrt

verwirrt

In der Ausgangsgleichung hast du das Inverse einer inversen Matrix. Das ist dann doch die Matrix selbst.

21.10.2011, 14:33

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} X-A_{0}^{T} =\left[\left(X\cdot A_{2} \right)^{-1} \right]^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =X-A_{0}^{T} =X\cdot A_{2} \end{eqnarray*}$
?

Meinst du das so?

21.10.2011, 14:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

smile

22.10.2011, 11:58

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun -X
dann A2 von rechts invertieren ..
aber da würde X doch wegfallen oder?

22.10.2011, 22:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wieso? Das - X ist in Ordnung, aber dann würde ich erstmal X ausklammern.

24.10.2011, 11:41

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

-A0^T=X(A2-E) ?

24.10.2011, 12:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

25.10.2011, 16:41

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah und jetzt das A2-E von rechts invertieren?
und ausmultiplizieren?

27.10.2011, 00:46

Dustin

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallöchen!

Zitat:

Ah und jetzt das A2-E von rechts invertieren?

Yop.

Zitat:

und ausmultiplizieren?

Wie soll das gehen?

27.10.2011, 22:24

Kaschmujatsi

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja .. dacht halt so ^^
Hab nicht wirklich so ein Talent mit Matrizengleichungen traurig

traurig

edit:
Also ist das im Endeffekt meine Endgleichung für X?

28.10.2011, 00:07

Dustin B

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ah und jetzt das A2-E von rechts invertieren?

Wenn du das noch machst, ja. Vergleich dein Ergebnis dann halt mal mit dem, was lt. Angane rauskommen soll.

Zitat:

Hab nicht wirklich so ein Talent mit Matrizengleichungen

Das ist aber auch ein sehr spezielles Talent Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was soll man denn damit anfangen? Matrizengleichungsprofessor werden? Oder sich mit einem Matrizengleichungsgeschäft selbstständig machen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

VG Dustin

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »