Sigma-Algebra

21.10.2011, 12:45

Gast11022013

Sigma-Algebra

Meine Frage:
Hallo, liebes Matheboard!

Ich habe eine Frage, die sich um die Festlegung einer Sigma-Algebra dreht.

Und zwar lese ich in einem Mitschrieb aus der Stochastik-Vorlesung:

"Warum so vorsichtig? Warum nicht gleich alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ? (Warum nicht $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ ?) Im Fall, daß $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbar ist (also auch endlich), ist das möglich, nicht aber bei überabzählbarem $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ."

Als Gegenbeispiel wird dann der unendliche Münzwurf gegeben, der ja durch den Ergebnisraum $\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{0,1\right\}^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ beschrieben wird. Hier gibt es einen Satz von Vitali, der zeigt, daß man hier nicht die Potenzmenge als Sigma-Algebra wählen kann.

Soweit, so gut.
Aber bei diesem Beispiel ist $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ doch nicht überabzählbar - oder sehe ich das falsch?

Ich frage mich, wie das zusammenpasst mit dem obigen Satz, den ich aus meinem Mitschrieb zitiert habe.

Meine Ideen:
Ich habe leider keine eigene Idee bzw. Erklärung.

21.10.2011, 12:53

Mazze

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Erinnere dich mal an die Binärdarstellung der reellen Zahlen. Was hat das mit deinem Omega zu tun , und sind die reellen zahlen überabzählbar ? Es reicht auch, dass interval [0,1) zu betrachten.

21.10.2011, 12:56

Gast11022013

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Willst Du mir sagen, daß man die reellen Zahlen ja als Folge von Nullen und Einsen darstellen kann (Binärdarstellung) und man somit mit $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ nichts Anderes als eine Darstellung der reellen Zahlen hat, die überabzählbar sind? Damit wäre $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ in der Tat überabzählbar.

21.10.2011, 13:01

Mazze

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Zitat:

Was man natürlich ausformulieren müsste. Etwa ist die Binärdarstellung ja nicht eindeutig, zum Beispiel ist

$\begin{eqnarray*} 1.000000000... \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 0.11111111111.... \end{eqnarray*}$

die selbe Darstellung für die Zahl 1, es sind aber Tatsächlich zwei verscheidene Elemente von Omega. Diese Probleme kann man aber bewältigen.

21.10.2011, 13:04

Gast11022013

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Wie könnte man das denn bewältigen?

[Ist mir nicht klar.]

Die Grundaussage bleibt doch aber, daß man $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit den reellen Zahlen identifizieren kann und diese sind überabzählbar. Sehe ich das so korrekt?

21.10.2011, 13:24

Mazze

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Zitat:

Die Grundaussage bleibt doch aber, daß man $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit den reellen Zahlen identifizieren kann und diese sind überabzählbar. Sehe ich das so korrekt?

Ja, ich würde aber statt dessen eine Injektion von [0,1] nach Omega konstruieren, denn dann muss Omega mindestens so mächtig sein wie [0,1]. So muss man sich auch nicht um eine exakte Bijektion bemühen, wir wollen ja nur die Überabzählbarkeit und nicht die Gleichmächtigkeit.

Man findet auf jeden Fall zu jeder Zahl $\begin{eqnarray*} a \in [0,1] \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} 0.\omega \end{eqnarray*}$

die Binärdarstellung von a ist. Um das oben angesprochene Problem zu lösen fällt mir Spontan die Äquivalenzrelation

$\begin{eqnarray*} (\omega,\omega') \in R \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ wenn es ein $\begin{eqnarray*} a \in [0,1] \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \omega,\omega' \end{eqnarray*}$ Binärdarstellungen von a sind. Die Binärdarstellung ist im Übrigen insofern eindeutig, als dass Omega für nur genau ein a aus [0,1] eine Darstellung sein kann. Das ist wichtig für die Transitivität.

Dann lässt sich nämlich ganz leicht eine Injektion von [0,1] nach $\begin{eqnarray*} \Omega \setminus _R \end{eqnarray*}$ konstruieren. Nämlich :

$\begin{eqnarray*} f: [0,1] \to \Omega \setminus _R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \mapsto \text{ Binärdarstellung von } a \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber $\begin{eqnarray*} \Omega \setminus _R \end{eqnarray*}$ höchstens genauso groß wie Omega selbst. Falls ein Anderer mitließt, findet sich eventuel eine elegantere Lösung. Das sind nur meine Kanonen für die Spatzen Augenzwinkern

21.10.2011, 13:28

Gast11022013

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Ich finde das schon sehr elegant und mein Hauptanliegen (zu verstehen, daß $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist) ist eigentlich sehr gut befriedigt.

Dankesehr!

21.10.2011, 13:58

tmo

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Noch eine kleine Bemerkung:

Wenn es um die Überabzählbarkeit der Menge $\begin{eqnarray*} \{0,1\}^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ geht, kann man auch direkt das Diagonalargument von Cantor imitieren. (Genauso wie jeder Mann einen Baum pflanzen sollte, sollte jeder Mathematikstudent mal das Diagonalargument imitieren Big Laugh

)

Dazu nimmst du dir eine Aufzählung der Elemente dieser Menge und konstruierst dann ein Element (also eine Folge aus 0en und 1en), das nicht in dieser Aufzählung vorkommt.

Es gibt imho keine Menge, die für die Demonstration des Diagonalargument besser geeignete wäre, als eben genau diese.

21.10.2011, 14:42

Gast11022013

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Ich würde diesen Rat sehr gerne befolgen, allerdings weiß ich gar nicht so genau, was das Diagonalargument ist. Ich erinnere mich nur an eine Vorlesung, in der gezeigt wurde, daß die rationalen Zahlen zu den natürlichen Zahlen gleichmächtig sind. Dabei schrieb man die Brüche in einem zweidimensionalen Schema an und zählte dann diagonal durch.

Leider habe ich ansonsten keinen Begriff davon, was das Diagonalargument eigentlich ist bzw. wie man es anderweitig (zum Beispiel bei dieser Frage hier) benutzen kann.

21.10.2011, 14:47

Mazze

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Cantor's zweites Diagonalargument.

21.10.2011, 14:55

Gast11022013

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Dann würde man also (gemäß der Sprechweise des verlinkten Artikels) beispielsweise

$\begin{eqnarray*} x_i=1 \end{eqnarray*}$ setzen, wenn $\begin{eqnarray*} a_{ii}=0 \end{eqnarray*}$ wäre

Oder man vereinbart:

$\begin{eqnarray*} x_i=0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} a_{ii}=1 \end{eqnarray*}$

Und dann hätte man eine 0-1-Folge gefunden, die nicht in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ liegt.

War das so gemeint?

21.10.2011, 15:34

Mazze

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Zitat:

Und dann hätte man eine 0-1-Folge gefunden, die nicht in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ liegt.

Darum geht es nicht. Es geht darum, dass es für jede Folge in Omega (also Folgen von Folgen) ein Element in Omega gibt, dass nicht aufgezählt wird. Und das ist gleichbedeutend mit der Überabzählbarkeit, weil jede Abzählung doch nicht alles abzählt Augenzwinkern

21.10.2011, 15:43

Gast11022013

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Ich versuche nochmal eine korrekte Formulierung:

Also man betrachtet irgendeine beliebige Folge von Elementen in $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Zum Beispiel die Folge $\begin{eqnarray*} (\omega_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , bei der die 1 immer eine Position weiterwandert:

$\begin{eqnarray*} (0,0,0,0,...),(1,0,0,0,...),(0,1,0,0,..),(0,0,1,0,...),... \end{eqnarray*}$

Und nun findet man ein $\begin{eqnarray*} \omega\in\Omega \end{eqnarray*}$ , das nicht zu dieser Folge gehört und zwar nach dem Diagonalargument, indem man jeweils pro beliebig gewählter Folge eine Diagonalzahl findet (wie ich es oben gesetzt hatte).

[War der Teil meines Beitrags (Setzung von $\begin{eqnarray*} a_{ii}, x_i \end{eqnarray*}$ ) korrekt?

Deswegen zählen die natürlichen Zahlen nicht ganz $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ durch und daher ist $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ überabzählbar.

Ist das so korrekt formuliert?

21.10.2011, 17:29

Mazze

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Zitat:

indem man jeweils pro beliebig gewählter Folge eine Diagonalzahl findet (wie ich es oben gesetzt hatte).

Man würde eher Diagonalfolge sagen, weil es ja eine Folge ist, die nicht vorkommt. Diese muss natürlich dann angegeben werden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_i=1 \end{eqnarray*}$ setzen, wenn $\begin{eqnarray*} a_{ii}=0 \end{eqnarray*}$ wäre Oder man vereinbart: $\begin{eqnarray*} x_i=0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} a_{ii}=1 \end{eqnarray*}$

Das läuft ja aufs selbe hinaus, beziehungsweise Du musst beides nutzen, weil Du sicherstellen musst, dass die neue Folge nicht gleich einer der aufgezählten ist. Aber ja, so gehts.

21.10.2011, 17:40

Gast11022013

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Besten Dank!

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