Satz des Menelaos

03.01.2007, 17:01

Rafikki

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Satz des Menelaos

hallo,

ich muss für die schule den satz des menelaos und evtl. den satz von ceva mit hilfe von vektoren erleutern... ich sollte so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{AS1}= \vec{b}+ \frac{t1}{t1+1}(r \vec{b}+s \vec{c}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AS2}= \frac{t2}{t2+1} \vec{c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{AS3}= \frac{t3}{t3+1} \vec{b} \end{eqnarray*}$

nun komme ich leider nicht weiter, weil ich keine ahnung habe, wasich tun muss.

vielen dank für eure hilfe!!!

03.01.2007, 17:22

Rafikki

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hab schwachsinn gepostet. ich soll es durch die teilverhältnisse beweisen. wobei gilt :

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AT}=t\overrightarrow {TB} \Rightarrow \overrightarrow {AT}= \frac{t}{t+1}*\overrightarrow {AB} \end{eqnarray*}$

es ist in diesem forum schonmal erklärt, nur leider versteh ich da nur bahnhof.

ich muss t1 * t2 * t3=-1 als ergebnis haben.

die genaue aufgabenstellung lautet :

schneidet eine gerade g die geraden auf denen die seiten eines dreiecks abc liegen in den punkten s1, s2 und s3

und liegt s1 auf der geraden durch c und b,
s2 auf der geraden durch a und c,
und liegt s3 auf der geraden durch a und b,

dann gilt: tv(bs1c)*tv(cs2a)*tv(as3b)=-1

anleitung:

drücke $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AS1},\overrightarrow {AS2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AS3} \end{eqnarray*}$ durch die vektoren $\begin{eqnarray*} \vec {b} = \overrightarrow {AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {c} = \overrightarrow {AC} \end{eqnarray*}$ aus.

04.01.2007, 11:20

rafikki

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hallo,

es wäre echt nett, wenn mir jemand schnell helfen könnte, da ich bis dienstag mein referat ausformuliert haben muss...

tausend dank schonmal im voraus.

rafikki

04.01.2007, 11:35

cleverclogs

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Genau was ist deine Frage? Hast Du eine Skizze schon gemacht? Dann sind die Sätze relativ leicht zu beweisen... smile

smile

lg cleverclogs (der leider jetzt weg muss - bin aber später wieder da, falls es noch Probleme gibt) Wink

Wink

04.01.2007, 11:58

rafikki

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die Frage lautet:

schneidet eine gerade g die geraden auf denen die seiten eines dreiecks abc liegen in den punkten s1, s2 und s3

und liegt s1 auf der geraden durch c und b,
s2 auf der geraden durch a und c,
und liegt s3 auf der geraden durch a und b,

dann gilt: tv(bs1c)*tv(cs2a)*tv(as3b)=-1

anleitung:

drücke $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AS1},\overrightarrow {AS2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AS3} \end{eqnarray*}$ durch die vektoren $\begin{eqnarray*} \vec {b} = \overrightarrow {AB} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {c} = \overrightarrow {AC} \end{eqnarray*}$ aus.

ich hab leider gar keine ahnung, wie man so etwas mit dem pc zeichnet.

es ist halt ein dreieck das von einer diagonal von rechtsoben kommenden gerade in den seiten BC und AC geschnitten wird. ebenfalls wird die verlängerung der seite AB geschnitten und zwar neben A. das bedeutet AB und AC sind mit dem inneren teilverhältnis zu berechnen und AB mit dem äußeren.

04.01.2007, 18:23

riwe

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Zitat:

Original von cleverclogs
Genau was ist deine Frage? Hast Du eine Skizze schon gemacht? Dann sind die Sätze relativ leicht zu beweisen... smile

smile

lg cleverclogs (der leider jetzt weg muss - bin aber später wieder da, falls es noch Probleme gibt) Wink

Wink

ein sinnvoller tip wäre auch ein tip Big Laugh

Big Laugh

aber es ist schon sehr interessant, dass du jetzt weg mußt, oder verwirrt

verwirrt

werner

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04.01.2007, 19:43

cleverclogs

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@ wernerrin: Ich habe gesehen, dass außer Raffiki nur ich in Forum Geometrie anwesend war. Ich wollte Raffiki helfen, wusste nicht genau was für ein Tipp sinnvoll wäre. Ich habe zwar Ferien z.Zt., muss aber ab und zu weg vom Rechner! Sorry! Übrigens, wo ist dann dein Tipp?

@ Raffiki: Ich bin wie versprochen wieder da. Ich meinte nicht, dass Du mit dem PC eine Skizze machen solltest, einfach für dich aus Papier. Aber jetzt sitze ich mich hin und versuche was HILFREICHES zu schreiben...

04.01.2007, 20:33

cleverclogs

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RE: Satz des Menelaos
Leider muss ich zugeben, dass mit Vektoren in R2 komme ich nicht so schnell zurecht. Mit andere Methoden ist es anders, aber da ist vieles schon im Internet, unter anderen hier im Matheboard. Ich glaube rafikki muss Hilfe von jemand anders holen.

Andere Matheboard Leser können diese Links folgen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Menelaos

http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/v.../ceva/ceva.html

Sorry... ich gebe hiermit mit Vektoren in R2 auf! unglücklich

unglücklich

traurig

cleverclogs

04.01.2007, 20:48

rafikki

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hallo,

ich habe den satz von ceva vorgerechnet von meiner lehrerin erhalten. leider kann ich mit der rechnung nichts anfangen, da zu viel auf einmal vereinfacht wurde und dies es mir unmöglich macht, der rechnung zu folgen. ich werde die rechnung hier im forum posten, dann könnt ihr euch selbst ein bild machen.

danke schonmal

mfg
rafikki

05.01.2007, 01:13

riwe

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ein geometrischer - viel "sinnvollerer" weg ist hier
werner

05.01.2007, 11:36

rafikki

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diesen weg soll ich aber nicht nehmen!

trotzdem danke.

05.01.2007, 12:25

rafikki

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so, hier ist die lösung von ceva http://www3.snapfish.com/slideshow/Album...803/t_=61161803da sind so viele rechenschritte übersprungen, sodass ich gar nix versteh. auf die art soll ich menelaos lösen.

05.01.2007, 16:07

riwe

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ich halte nix davon, hier die vektorrechnung zu strapatieren, wo es doch so schöne geometrie gibt Big Laugh

Big Laugh

da sich aber niemand deiner erbarmt:
ich nehme an, das zeugs stammt aus lambacher schweizer, und die lösung, die dort geboten wird, ist ziemlich saumäßig und falsch (zumindest in meiner ausgabe unglücklich

unglücklich

).
so nun mein versuch:
die bezeichnungen entnimmst du der skizze.
zu zeigen ist
$\begin{eqnarray*} TV(BS_1C)\cdot TV(CS_2A)\cdot TV(AS_3B) =-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} TV(BS_1C)=-\frac{r}{1+r} \end{eqnarray*}$
der teilungspunkt $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ liegt außerhalb der strecke BC
$\begin{eqnarray*} TV(CS_2A)=\frac{1-s}{s} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} TV(AS_3B)=\frac{t}{1-t} \end{eqnarray*}$
damit hast du
$\begin{eqnarray*} \frac{r(1-s)t}{(1+r)s(1-t)}=1 \end{eqnarray*}$
und ausmultipliziert
(I) $\begin{eqnarray*} s(r+1)=t(r+s) \end{eqnarray*}$

nun gilt weiters
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CB}=\vec{b}-\vec{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{S_2S_1}=\overrightarrow{S_2C}+\overrightarrow{CS_1}=(1-s)\vec{c}+(1+r)(\vec{b}-\vec{c})=(r+1)\vec{b}-(r+s)\vec{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{S_2S_3}=\overrightarrow{AS_3}-\overrightarrow{AS_2}=t\vec{b}-s\vec{c} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} S_1, S_2 und S_3 \end{eqnarray*}$ auf einer geraden liegen, sind die beiden obigen vektoren linear abhängig, es gilt daher

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}r +1\\ r+s \end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ eliminieren liefert

(II) $\begin{eqnarray*} s(r+1)=t(r+s) \end{eqnarray*}$
(I) = (II) qued.
werner

hilft dir das bei ceva, oder hapert es noch verwirrt

verwirrt

05.01.2007, 16:44

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte mich auch gerne "erbarmt" und hab' das seit gestern auch schon einige Male durchgerechnet, aber wegen eines argen Fehlers nie abschließen können. Erst werner's Rechnung hat mir meinen Fehler offenbart, so war's zwar umsonst, werner, aber nicht vergeblich Big Laugh

Big Laugh

mY+

05.01.2007, 16:49

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
Ich hätte mich auch gerne "erbarmt" und hab' das seit gestern auch schon einige Male durchgerechnet, aber wegen eines argen Fehlers nie abschließen können. Erst werner's Rechnung hat mir meinen Fehler offenbart, so war's zwar umsonst, werner, aber nicht vergeblich Big Laugh

Big Laugh

mY+

dankeschön mythos
werner

05.01.2007, 17:16

rafikki

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vielen dank erstmal.

durch die vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ =AB und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ =AC soll ich die teilverhältnisse beschreiben. die gerade schneidet von rechtsoben kommend die dreiecksseite BC, dann AC und am ende die verlängerung von AB links neben A.

im prinzip das gleiche, was wernerrin gerechnet hat nur etwas gedreht (glaub ich).

mfg rafikki

05.01.2007, 18:09

riwe

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Zitat:

Original von rafikki
vielen dank erstmal.

durch die vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ =AB und $\begin{eqnarray*} \vec{c} \end{eqnarray*}$ =AC soll ich die teilverhältnisse beschreiben. die gerade schneidet von rechtsoben kommend die dreiecksseite BC, dann AC und am ende die verlängerung von AB links neben A.

im prinzip das gleiche, was wernerrin gerechnet hat nur etwas gedreht (glaub ich).

mfg rafikki

wenn DAS dein problem ist, dann gute nacht Big Laugh

Big Laugh

drehe doch meine skizze um 90° nach rechts, schluchz unglücklich

unglücklich

werner

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