Borel-Sigma-Algebra

21.10.2011, 18:58

Gast11022013

Borel-Sigma-Algebra

Meine Frage:
Hallo, irgendwie komme ich immer wieder auf die berühmte Borel'sche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra zurück, jetzt schon wieder...

Diesmal möchte ich gerne zeigen, daß die Borel'sche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra erzeugt wird von dem System

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{]-\infty,c]:c\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Dazu habe ich mir überlegt, daß man einfach zeigt, daß diese Menge ein Erzeugendensystem ist in dem Sinne, daß sie in einem anderen Erzeugendensystem enthalten ist.

Einerseits ist ja die Menge $\begin{eqnarray*} \mathcal{\tilde G} \end{eqnarray*}$ aller abgeschlossenen Intervalle ein Erzeugendensystem und gilt nicht, daß
$\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ Vereinigung der abgeschlossenen Mengen ist, deren linke Grenze gegen unendlich geht, also

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\bigcup_{n\geq 1}[a_n,c] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\to\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ?

Das wäre meine Idee für die eine Mengeninklusion.

Die andere Mengeninklusion wäre m.E.

$\begin{eqnarray*} [a,b]=\bigcap_{n\geq 1}]a-\frac{1}{n},b] \end{eqnarray*}$ , wobei alle halboffenen Intervalle $\begin{eqnarray*} ]a,b]=]-\infty,b]\setminus ]-\infty,a] \end{eqnarray*}$ ja in $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

So komme ich auf $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\mathcal{\tilde G} \end{eqnarray*}$ und somit wäre dann $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ Erzeugendensystem der Borel'schen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ , vorausgesetzt, daß man $\begin{eqnarray*} \mathcal{\tilde G} \end{eqnarray*}$ als Erzeugendensystem voraussetzen darf.

Edit

Ich glaube, ich habe dasein bisschen ungenau ausgedrückt.

Die erste Mengeninklusion würde ja vielmehr zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}\subset\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{G})\subset\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ .

Und die zweite Mengeninklusion zeigt, daß

$\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{\tilde G})=\mathcal{B}\subset \subset \sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} \mathcal{\tilde G}\subset \sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt hat man demnach $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{G})=\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ , was man ja zeigen wollte.

21.10.2011, 19:12

system-agent

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RE: Borel-Sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\bigcup_{n\geq 1}[a_n,c] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\to\infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ?

Das wäre meine Idee für die eine Mengeninklusion.

Pass auf die Notationen auf, denn das ist Unsinn. Links steht ein Mengensystem, also eine Menge von Mengen und rechts steht einfach eine Menge.

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} [a,b]=\bigcap_{n\geq 1}]a-\frac{1}{n},b] \end{eqnarray*}$ , wobei alle halboffenen Intervalle $\begin{eqnarray*} ]a,b]=]-\infty,b]\setminus ]-\infty,a] \end{eqnarray*}$ ja in $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Das ist auf jeden Fall sehr gut. Mit dem hinteren Teil hast du gezeigt, dass alle nach links beschränkten halboffenen Intervalle in $\begin{eqnarray*} \mathcal G \end{eqnarray*}$ enthalten sind und das vordere zeigt daraufhin, dass ebenfalls alle abgeschlossenen Intervalle in $\begin{eqnarray*} \mathcal G \end{eqnarray*}$ enthalten sind.

Damit hast du $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal G}\subset\mathcal G \end{eqnarray*}$ gezeigt, und daher, dass
$\begin{eqnarray*} \mathcal B(\mathbb R)=\sigma(\tilde{\mathcal G})\subset\sigma(\mathcal G) \end{eqnarray*}$ (Edit: hier einen kleinen Fehler korrigiert.).
[hier steht $\begin{eqnarray*} \sigma(M) \end{eqnarray*}$ für die kleinste Sigma-Algebra, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthält].

Nun musst du noch die Umkehrung zeigen, also dass jedes Intervall $\begin{eqnarray*} ]-\infty,c] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal G} \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

21.10.2011, 19:30

Gast11022013

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Wäre es vllt. im Ganzen klüger bzw. einfacher, wenn man sich die Menge aller offenen Intervalle ansieht, etwa $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}=\left\{(-\infty,r):r\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

und dann einfach nur zeigt:

$\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{G})=\sigma(\mathcal{E}) \end{eqnarray*}$ , indem man zeigt:

1.) $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}\subset\mathcal{E} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}\subset\sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$

1. gilt sowieso

2. habe ich oben m.E. gezeigt

Und aus 1.) und 2.) folgt dannm die Behauptung.

21.10.2011, 19:41

system-agent

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Tja, welchen Erzeuger du nimmst ist letztendlich vollkommen egal. Meistens wird die Borel-Sigma-Algebra als diejenige Sigma-Algebra definiert, die von der Topologie erzeugt wird.
Leider ist dein Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ nicht die Topologie von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , das heisst auch hier musst du irgendwoher erstmal wissen, dass $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal E)=\mathcal B(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du einfach noch eine kurze Begründung hinschreibst, wieso jedes Intervall $\begin{eqnarray*} ]-\infty,c] \end{eqnarray*}$ ein abgeschlossenes Intervall ist, dann bist du doch fertig.

Mit deiner zweiten Idee zeigst du dann $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal E)=\sigma(\mathcal G) \end{eqnarray*}$ . Dazu musst du aber von einer von beiden bereits wissen dass es die Borel-Sigma-Algebra ist.

21.10.2011, 19:44

Gast11022013

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Jedes $\begin{eqnarray*} ]-\infty,c] \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen, weil das Komplement hiervon offen ist.

Dann bin ich schon fertig nach meiner ersten Idee?

21.10.2011, 19:49

system-agent

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Ja. Zumindest sofern du weisst, dass $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal G} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra ist. Ansonsten hast du wieder nur $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal G)=\sigma(\tilde{\mathcal G}) \end{eqnarray*}$ bewiesen.

21.10.2011, 19:59

Gast11022013

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Oben hast Du einmal geschrieben, daß man wegen $\begin{eqnarray*} \mathcal{\tilde G}\subset\mathcal{G} \end{eqnarray*}$ wisse, daß $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{\tilde G})\subset \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ . Da meinst Du

$\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{\tilde G})\subset\sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ , oder?

Okay, bei beiden Wegen zeigt man erstmal nur, daß jeweils zwei Mengen etwas Identisches erzeugen. Was sie erzeugen, muss man aber noch zeigen!

Aber wie zeigt man denn das? Ich dachte es wäre einfach definiert, daß eben zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathcal{\tilde G} \end{eqnarray*}$ die Borel-Sigma-Algebra erzeugt.

21.10.2011, 20:16

system-agent

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Zitat:

Original von Dennis2010
Oben hast Du einmal geschrieben, daß man wegen $\begin{eqnarray*} \mathcal{\tilde G}\subset\mathcal{G} \end{eqnarray*}$ wisse, daß $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{\tilde G})\subset \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ . Da meinst Du

$\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{\tilde G})\subset\sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja, du hast Recht. Ich ändere das oben noch.

Ich weiss ja nicht wie ihr die Borel-Sigma-Algebra definiert habt. Eine übliche Definition ist eben als kleinste Sigma-Algebra, die von den offenen Mengen erzeugt wird [beachte: Menge aller offenen Mengen und nicht bloss Menge aller offenen Intervalle oder sowas].

Du könntest in zwei Schritten zeigen, dass zb $\begin{eqnarray*} \mathcal G':=\{]a,b[\subset\mathbb R\,\,:\,\,\text{ wobei } a,b\in\mathbb R,\,a\leq b\} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger ist (also die Menge aller offenen Intervalle).
(i) Zuerst stellst du fest, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal G' \end{eqnarray*}$ in der Topologie ist [trivial].
(ii) Dann zeigst du, dass sich jede offene Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ als eine abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen darstellen lässt. [Hinweis: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist abzählbar und liegt dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ].

Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal G' \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger ist. Aber $\begin{eqnarray*} \sigma(\tilde{\mathcal G})=\sigma(\mathcal G') \end{eqnarray*}$ [folgt direkt aus der Definition einer Sigma-Algebra] und das zeigt, dass $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal G} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra ist.

21.10.2011, 20:27

Gast11022013

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Irgendwie hatte wir nie so richtig eine Definition.

Es hieß immer nur:

Die Borelsche Sigma-Algebra auf R wird erzeugt von der Menge alle offenen Intervalle.

Wo ist der Unterschied (bei R) zwischen Menge der offenen Mengen und Mengen der offenen Intervalle?

Ich verstehe das irgendwie nicht.

Einerseits sagst Du es sei üblichweise so definiert, daß die Borelsche Sigma-Algebra die kleinste Sigma-Algebra sei, die die offenen Mengen enthalte und dann muss ich erst zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \mathcal{G'} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger ist. verwirrt

Sorry, wenn ich so viel nachfrage, aber irgendwie ist mit das total unklar.

21.10.2011, 20:38

system-agent

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Zitat:

Original von Dennis2010
Irgendwie hatte wir nie so richtig eine Definition.

Es hieß immer nur:

Die Borelsche Sigma-Algebra auf R wird erzeugt von der Menge alle offenen Intervalle.

Das ist doch eine Definition. Damit weisst du also, dass [per eurer Definition] das Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal G' \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra ist und du bist fertig.

Zitat:

Original von Dennis2010
Wo ist der Unterschied (bei R) zwischen Menge der offenen Mengen und Mengen der offenen Intervalle?

Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} ]0,1[\cup]2011,2012[ \end{eqnarray*}$ eine offene Menge aber kein offenes Intervall. Eine offene Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist eine Menge derart, dass es für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} p\in M \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt so, dass die offene Kugel $\begin{eqnarray*} B(p,\epsilon):=\{x\in\mathbb R\,\,:\,\,|x-p|<\epsilon\} \end{eqnarray*}$ komplett in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt.
Ein offenes Intervall ist eine offene Menge, die zusätzlich noch ein Intervall ist.

Anders gesagt: Es gibt mehr offene Mengen als offene Intervalle. Trotzdem erzeugen beide Mengen dieselbe Sigma-Algebra.

Zitat:

Original von Dennis2010
Einerseits sagst Du es sei üblichweise so definiert, daß die Borelsche Sigma-Algebra die kleinste Sigma-Algebra sei, die die offenen Mengen enthalte und dann muss ich erst zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \mathcal{G'} \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger ist. verwirrt

Wie eben gesagt: Die Menge aller offenen Mengen ist nicht gleich der Menge aller offenen Intervalle. Definiert man also die Borel-Sigma-Algebra als die kleinste Sigma-Algebra, die alle offenen Mengen enthält, dann muss man schon noch zeigen, dass auch das kleinere Mengensystem aller offenen Intervalle dieselbe Sigma-Algebra erzeugt.

Dazu braucht man ein geeignetes Approximationsargument; dh man muss irgendwie wissen dass jede offene Menge als abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen dargestellt werden kann.

21.10.2011, 20:49

Gast11022013

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Danke, also wir hatten, wie gesagt, das immer nur mit Intervallen und hatten immer gesagt:

Die Borelsche Sigma-Algebra wird erzeugt von den offenen Intervallen (oder manchmal auch alternativ: von den abgeschlossenen Intervallen).

Oder eine Definition, die wir auch mal hatten, ist:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \mathcal{S}=\left\{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]:a_i<b_i, a_i,b_i\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

das System aller achsenparallelen Quader in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit reellen Eckpunkten.

Dann heißt $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^n:=\sigma(\mathcal{S}) \end{eqnarray*}$ die Borel'sche Sigma-Algebra.

Nach dieser Definition wäre ich doch auch bereits fertig (bezogen auf den allerersten Weg in diesem Thread)?

22.10.2011, 08:17

system-agent

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Zitat:

Original von Dennis2010
Danke, also wir hatten, wie gesagt, das immer nur mit Intervallen und hatten immer gesagt:

Die Borelsche Sigma-Algebra wird erzeugt von den offenen Intervallen (oder manchmal auch alternativ: von den abgeschlossenen Intervallen).

Bei einer Defintion musst du dich schon entscheiden. Aber natürlich kann man sehr leicht einsehen, via der Definition einer Sigma-Algebra, dass beide Erzeugersysteme dieselbe Sigma-Algebra liefern.

Zitat:

Original von Dennis2010
Oder eine Definition, die wir auch mal hatten, ist:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \mathcal{S}=\left\{\prod_{i=1}^{n} [a_i,b_i] :a_i<b_i, a_i,b_i\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

das System aller achsenparallelen Quader in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit reellen Eckpunkten.

Du meinst die achsenparallelen Quader in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

.
Das ist einfach nochmals etwas formaler die Menge aller "abgeschlossenen Intervalle" [beachte: im Fall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ sind es tatsächlich nur abgeschlossene Intervalle, für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ sind es Rechtecke und erst für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ sind es "Quader"].

Dann heißt $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^n:=\sigma(\mathcal{S}) \end{eqnarray*}$ die Borel'sche Sigma-Algebra.

Ich würde vorschlagen du zeigst jetzt schnell, dass die Menge
$\begin{eqnarray*} \mathcal{S'}=\left\{\prod_{i=1}^{n} ]a_i,b_i[ :a_i<b_i, a_i,b_i\in\mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$
dieselbe Sigma-Algebra erzeugt wie $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Dann hast du nämlich gezeigt, dass die Borel-Sigma-Algebra von der Menge aller offenen und der Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ erzeugt wird [ersteres ist klar nach eurer Defintion und zweiteres hast du dann gezeigt].

Dann bist du natürlich auch mit deinem ursprünglichen Anliegen fertig

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