Index einer Untergruppe bestimmen

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Index einer Untergruppe bestimmen
Hallo,
ich habe dringenden klärungsbedarf.

(1) mir scheint es so, als hätte ich den Begriff Index bislang noch nicht richtig nachvollziehen können. Mir ist klar, dass dieser einfach nur besagt, dass n disjunkte linksnebenklassen (= RNK) existieren (in diesem Satz nur bezug auf die Anzahl, nicht die Strukturgleichheit).

Vlt kann mir jemand ein einfaches Beispiel komplett ausführlich geben (oder mit mir erarbeiten) sodass ich diesen Begriff verstehen kann.

(2) Untergruppen vom Index 2 sind Normalteiler. Beweis dazu ist klar.
Als Beispiel hierzu (auch für (1) geeignet) habe ich mir A_3 in S_3 gedacht.
Dann ist ja:

Dabei ist

Dann gilt ja gerade
Aus dem Index von A_3 in S_3 ziehe ich, dass diese Vereinigung aus Mengen gebildet wird.

Nur weiß ich nun nicht ob es an der Uhrzeit liegt oder ich grad aufm schlauch stehe.. aber ich komme nun nicht weiter. ich denke, ich sollte die menge mal komplett ausrechnen und gleiche Elemente rausschmeißen.

Aber mir ist nicht klar, wenn ich nicht weiß welchen Index ich habe, wie ich dann erkennen kann, welchen Index die Untergruppe in der Gruppe hat.

Liebe Grüße und vielen Dank schonmal smile
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt bei endlichen Gruppen immer (Satz von Lagrange). Damit kann man den Index also ermitteln, wenn man die Ordnungen der größeren und der kleineren Gruppe kennt.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Es gilt bei endlichen Gruppen immer (Satz von Lagrange). Damit kann man den Index also ermitteln, wenn man die Ordnungen der größeren und der kleineren Gruppe kennt.


Der Satz von Lagrange ist mir geläufig, jedoch in einigen Situationen nicht anwendbar. (Z.B. wenn 2 der 3 Elemente unbekannt sind smile ) Aber trotzdem Danke für den Hinweis!

Angenommen man kennt die Kardinalität der Gruppe nicht, man weiß lediglich, dass die Gruppe endlich ist und die vereinigung aller LNK gleich der Gruppe ist.
(wie z.B. im Algebra Buch von Karpfinger in 3.2.2 "Der Index von U in G", dem 3. Beispiel: Buch auf Seite 37)

Würde ich die Kardinalität von S_4 nicht kennen, so könnte ich diese über den Index und der Größe der Untergruppe ermitteln (eben über den Satz von Lagrange), jedoch muss ich dafür den Index bestimmen können. mir geht es also um ein Verfahren, mit dem ich (auch wenn es etwas länger dauert) den Index bestimmen kann.

Offensichtlich (so sehe ich es in dem beispiel) ist das die Vereinigung aller (Links-)Nebenklassen bzgl. der Untergruppe. Was ich irgendwo mal gelesen hatte war: Der Index beschreibt die Anzahl aller disjunkter (Links-)Nebenklassen.
Nun müsste ich aber bestimmen können, wieviele disjunkte Nebenklassen existieren.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe ich es richtig, dass

und damit


somit dann auch: ?

Nach Lagrange ist es

damit ist meine Herleitung offensichtlich falsch.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. ist keine Untergruppe von , also gibts keine Nebenklassen.
Außerdem sind Nebenklassen disjunkt und gleichmächtig.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Nein. ist keine Untergruppe von , also gibts keine Nebenklassen.
Außerdem sind Nebenklassen disjunkt und gleichmächtig.


Ist nicht ?
das neutrale Element ist gleich, das Inverse verlagert sich... eben aus der Eigenschaft einer Verfeinerung. Beides sind Gruppen. Die Elemente der Z3 sind auch Elemente der Z6. Damit erfüllt die Z3 die Untergruppeneigenschaft.

Oder übersehe ich da einen besonderen Fakt?!
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den wesentlichen. Die Gruppenoperationen sind verschieden: Einmal Addition mod 3, einmal Addition mod 6.
Die Menge mit Addition modulo 6 ist keine Gruppe.

Zitat:
das Inverse verlagert sich

Was soll das heißen?
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Ja, den wesentlichen. Die Gruppenoperationen sind verschieden: Einmal Addition mod 3, einmal Addition mod 6.
Die Menge mit Addition modulo 6 ist keine Gruppe.

Ah.. ohje..wie konnte ich das blos übersehen xD
du hast recht, danke für den Hinweis.

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Zitat:
das Inverse verlagert sich

Was soll das heißen?


Das heißt, dass das inverse aus der Z6 zu beispielsweise der Zahl 2 die Zahl 4 war, in Z3 ist dies die 1 da in Z6 2+4=6=0, in Z3 2+1=3=0 gilt.
Aber aufgrund der fehlinterpretation ist diese Argumentation ja eh hinfällig Big Laugh


hast du ein anderes Beispiel parat als z.B. die A3 in der S3?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiele für Untergruppen vom Index 2 sind z.B. in die von 2 erzeugten Untergruppen, oder diein der .
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von galoisseinbruder
Beispiele für Untergruppen vom Index 2 sind z.B. in die von 2 erzeugten Untergruppen, oder diein der .


ich würde ja gerne anhand einfacher beispiele den index ohne Lagrange bestimmen können.

bei der A3 in der S3 gehts, A4 in S4 ist zu aufwendig aber machbar.

aber danke für die bislang geleistete Hilfestellung smile das hilft sehr.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein kurzer Nachtrag:
Der einfache weg den Index zu bestimmen ist Lagrange. Direkt bestimmen ist der schwere Weg.
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